Comment résoudre une équation ?
En mathématiques, les équations sont au cœur de tous les programmes. Pour autant, la résolution d’équation figure parmi les difficultés majeures rencontrées par les élèves au cours de leur scolarité. Ce blog-post est là pour vous aider à dépasser ces difficultés , et réussir à maîtriser la résolution d’équation , du premier au second degré !
Qu'est ce qu'une équation ?
Avant toute chose il est nécessaire de bien savoir ce qu'est une équation et à quoi elle correspond :
💡 Définition : Une équation est une égalité qui n’est vérifiée que pour certaine(s) valeur(s) de la ou les inconnues.
La résolution d'équation correspond alors à la recherche de ces valeurs , et plusieurs réponses peuvent être données :
- Il n'existe pas de solution
- Il existe un nombre fini de solution
- Il existe une infinité de solution
La majorité des exemples rencontrés se concentre sur un nombre fini de solution en particulier une solution unique pour les équations du premier degré, et deux solutions distinctes pour les équations du second.
Dans le jargon des équations, on appelle "membre de gauche" la partie à gauche du signe égal et par conséquent "membre de droite" pour la partie à droite du signe égal.
De plus, le degré d'une équation correspond à la puissance maximale que prend l'inconnue dans l'équation. Si le terme de plus haut degré est
Appréhender la résolution d'équation
Afin de pouvoir résoudre une équation et enfin trouver ce fameux
Tout d'abord, comme nous l'avons vu dans la section précédente, l'équation traduit avant tout une égalité . De ce fait, pour que cette égalité ne soit pas modifiée, toute modification sur l'équation doit être symétrique par rapport au signe égal . Cela peut sembler compliqué mais c'est en réalité très simple, si vous réalisez une opération sur le membre de gauche, alors il est impératif de reproduire à l'identique cette opération sur le membre de droite.
💡 Exemple :
On a ainsi simplifié l'équation sous la forme
La résolution d'équation s'effectue alors en répétant de telles opérations simplificatrices jusqu'à obtention de la valeur de
Attention cependant, prenez garde à la division par zéro , qui rend caduc tout raisonnement mathématique. Si diviser par zéro était correct on pourrait monter que
Résoudre une équation du premier degré
Maintenant que nous avons compris comment interagir avec les équations, comment peut-on concrètement les résoudre ? Dans un premier temps, concentrons nous sur les équations de premier degré, c'est à dire les équations dont la puissance de
- Isoler l'inconnue (1)
- Simplifier les termes (2)
- Diviser (3)
- Conclure (4)
Pour appliquer cette méthode, reprenons l'exemple précédent :
💡 Exemple :
On a ainsi isolé l'équation sous la forme
On divise alors ensuite par 5 afin d'obtenir
On en déduit finalement :
Avec l'expérience, certaines étapes ne sont pas obligatoirement à détailler, mais pour prendre en main la notion de résolution d'équation il est toujours intéressant d'écrire toutes les lignes de la démonstration pour intégrer le raisonnement logique.
Résoudre une équation du second degré
La résolution des équations du second degré est bien plus délicate puisqu'il est souvent impossible d'isoler
Pour la résolution des équations du second degré, il est donc nécessaire de mettre les équations sous la forme :
Cette équation, souvent appelée trinôme du second degré, puisque définit par le trinôme
💡 Définition : Le discriminant (
La détermination des solutions de l'équation dépend du résultat du calcul du discriminant :
| Si > 0 | Si = 0 | Si < 0 |
| Il existe deux solutions réelles distinctes | Il existe une unique solution réelle | Il existe deux solutions complexes |
La méthode de résolution se récapitule donc ainsi :
- Mettre l'équation sous la forme d'un trinôme (1)
- Calculer le discriminant (2)
- Calculer la ou les solutions (3)
- Conclure (4)
Un exemple pour mieux comprendre :
💡 Exemple :
La première étape consiste à mettre sous la forme d'un trinôme
En effectuant les opérations, on obtient ainsi le trinôme :
On peut donc identifier la valeur du trinôme :
La deuxième étape consiste alors à calculer le discriminant correspondant :
On peut alors identifier la situation de deux solutions réelles distinctes puisque
On en déduit alors finalement les deux solutions :
De cette manière, vous êtes capable de faire face à tout trinôme du second degré en suivant cette méthode simple. En faisant bien attention au calcul du discriminant, on détermine rapidement la forme des solutions de l'équation et le calcul n'est pas bien plus difficile.
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