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a)limx1x22x+1x1b)limx1x22x+12x26x+4a)\lim\limits_{x\to1}\large\frac{x^2-2x+1}{x-1}\normalsize\\b)\lim\limits_{x\to1}\large\frac{x^2-2x+1}{2x^2-6x+4}
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Soit f deˊfinie pour x>1 :f(x)=3x+2x+1 1)a) Justifier que f est continue.      b) Reˊsoudre f(x)=x      c) Montrer que f est croissante 2) On deˊfinit (un)n telle queu0=0.5et pour tout n,  un+1=f(un)      a) Par reˊcurrence montrer que      n,    0unun+1<3      b) En deˊduire la convergence      de la suite et sa limite !\text{Soit }f\text{ définie pour }x>-1\text{ :}\\f(x)=\large\frac{3x+2}{x+1}\normalsize\\ \ \\1)a)\text{ Justifier que }f\text{ est continue.}\\\;\;\;b)\text{ Résoudre }f(x)=x\\\;\;\;c)\text{ Montrer que }f\text{ est croissante}\\ \ \\2)\text{ On définit }(u_n)_n\text{ telle que}\\u_0=-0.5\\\text{et pour tout }n,\;u_{n+1}=f(u_n)\\\;\;\;a)\text{ Par récurrence montrer que}\\\;\;\;\forall n,\;\;0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}<3\\\;\;\;b)\text{ En déduire la convergence}\\\;\;\;\text{de la suite et sa limite !}
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Soit f deˊfinie sur R :f(x)=x2x+1 si x1 etf(x)=14x2+x+14 si x>1 1) Justifier que f est continuesur R. 2)a) Tracer la fonction f.      b) Pourquoi semble-t-elle      deˊrivable ? 3)a) Calculer les deˊriveˊes des      deux fonctions :      xx2x+1      et      x14x2+x+14      b) Calculer leurs nombres      deˊriveˊs en 1, conclure.\text{Soit }f\text{ définie sur }\R\text{ :}\\f(x)=\sqrt{x^2-x+1}\text{ si }x\leqslant1\\\text{ et}\\f(x)=-\frac{1}{4}x^2+x+\frac{1}{4}\text{ si }x>1\\ \ \\1)\text{ Justifier que }f\text{ est continue}\\\text{sur }\R.\\ \ \\2)a)\text{ Tracer la fonction }f.\\\;\;\;b)\text{ Pourquoi semble-t-elle}\\\;\;\;\text{dérivable ?}\\ \ \\3)a)\text{ Calculer les dérivées des}\\\;\;\;\text{deux fonctions :}\\\;\;\;x\to\sqrt{x^2-x+1}\\\;\;\;\text{et}\\\;\;\;x\to-\frac{1}{4}x^2+x+\frac{1}{4}\\\;\;\;b)\text{ Calculer leurs nombres}\\\;\;\;\text{dérivés en 1, conclure.}
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limxe2x+ex1ex3e2x= ?\lim\limits_{x\to-\infty}\large\frac{e^{2x}+e^x-1}{e^x-3e^{2x}}\normalsize=\text{ ?}
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Soit (un)n(u_n)_n définie pour nNn\in\N^* par : \\ un=1n×(n+1)u_n=\frac{1}{n\times(n+1)} \\ 1. Déterminer sa limite. \\ 2. Montrer que nN\forall n\in\N^* \\ un=1n1n+1u_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \\ 3. Utilisant le 2. calculer \\ Sn=u1+...+unS_n=u_1+...+u_n \\ 4. Limite de SnS_n?
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Soit ff définie sur R\R : \\ f(x)=x2x+1f(x)=\sqrt{x^2-x+1} si x1x\leqslant1 \\ et \\ f(x)=14x2+x+14f(x)=-\frac{1}{4}x^2+x+\frac{1}{4} si x>1x>1 \\ 1) Justifier que f est continue sur R\R. \\ 2)a) Tracer la fonction f \\ b) Pourquoi semble-t-elle dérivable ? \\ 3)a) Calculer les dérivées des deux fonctions : \\ xx2x+1x\to\sqrt{x^2-x+1} \\ et \\ x14x2+x+14x\to-\frac{1}{4}x^2+x+\frac{1}{4} \\ b) Calculer leurs nombres dérivés en 1, conclure.
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Soit ff définie pour x>-1 : \\ f(x)=3x+2x+1f(x)=\frac{3x+2}{x+1} \\ 1)a) Justifier que ff est continue. \\ b) Résoudre f(x)=xf(x)=x \\ c) Montrer que ff est croissante  \\ \ \\ 2) On définit(un)n(u_n)_n telle que \\ u0=0.5u_0=-0.5 \\ et pour tout nn, un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) \\ a) Par récurrence montrer que \\ n\forall n, 0unun+1<30\leqslant u_n \leqslant u_{n+1}<3 \\ b) En déduire la convergence de la suite et sa limite !
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Calculer les deˊriveˊes desfonctions sur I : a)  f(x)=cos(1+x2)I=R b)  f(x)=sin(5x+π4)I=R c)  f(x)=cos(2x)xsin(2x)+xI=[3;+[ d)  f(x)=ecosxI=R\text{Calculer les dérivées des}\\\text{fonctions sur }I\text{ :}\\ \ \\a)\;f(x)=\cos(\sqrt{1+x^2})\quad I=\R\\ \ \\b)\;f(x)=\sin(-5x+\frac{\pi}{4})\quad I=\R\\ \ \\c)\;f(x)=\large\frac{\cos(2x)-x}{\sin(2x)+x}\normalsize\quad I=[3;+\infty[\\ \ \\d)\;f(x)=e^{cosx}\quad I=\R
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Donner le sens de variation de (un)(u_n) \\ définie pour nNn \in \mathbb{N}^* : \\ un=2nnu_n=\frac{2^n}{n}
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La somme de trois multiplesconseˊcutifs de 13 est eˊgale aˋ 234. Quels sont ces trois entiers ?\text{La somme de trois multiples}\\\text{consécutifs de }13\text{ est égale à }234.\\ \ \\\text{Quels sont ces trois entiers ?}
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On pose ϕ=1+52. Deˊterminer ϕ2 et montrer que l’onpeut lier ϕ2 et ϕ par une relationsimple.\text{On pose }\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.\\ \ \\\text{Déterminer }\phi^2\text{ et montrer que l'on}\\\text{peut lier }\phi^2\text{ et }\phi\text{ par une relation}\\\text{simple.}
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On suppose que 2 est unquotient de deux entiers relatifsp et q. ll peut donc s’eˊcrire sous laforme 2=pq ouˋ pq est un quotientirreˊductible. 1. Deˊmontrer que p est pair.2. Eˊtudier la pariteˊ de q.3. Conclure.\text{On suppose que }\sqrt{2}\text{ est un}\\\text{quotient de deux entiers relatifs}\\p\text{ et }q.\text{ ll peut donc s'écrire sous la}\\\text{forme }\sqrt{2}=\frac{p}{q}\text{ où }\frac{p}{q}\text{ est un quotient}\\\text{irréductible.}\\ \ \\ 1.\text{ Démontrer que }p\text{ est pair.}\\ 2.\text{ Étudier la parité de }q\text{.}\\ 3.\text{ Conclure.}
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