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Difficulté 1
Difficulté 2
Difficulté 3
Difficulté 4
Difficulté 5
Maths Spé
Analyse
Difficulté 2
a)lim⁡x→1x2−2x+1x−1b)lim⁡x→1x2−2x+12x2−6x+4a)\lim\limits_{x\to1}\large\frac{x^2-2x+1}{x-1}\normalsize\\b)\lim\limits_{x\to1}\large\frac{x^2-2x+1}{2x^2-6x+4}
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
Soit f deˊfinie pour x>−1 :f(x)=3x+2x+1 1)a) Justifier que f est continue.      b) Reˊsoudre f(x)=x      c) Montrer que f est croissante 2) On deˊfinit (un)n telle queu0=−0.5et pour tout n,  un+1=f(un)      a) Par reˊcurrence montrer que      ∀n,    0⩽un⩽un+1<3      b) En deˊduire la convergence      de la suite et sa limite !\text{Soit }f\text{ définie pour }x>-1\text{ :}\\f(x)=\large\frac{3x+2}{x+1}\normalsize\\ \ \\1)a)\text{ Justifier que }f\text{ est continue.}\\\;\;\;b)\text{ Résoudre }f(x)=x\\\;\;\;c)\text{ Montrer que }f\text{ est croissante}\\ \ \\2)\text{ On définit }(u_n)_n\text{ telle que}\\u_0=-0.5\\\text{et pour tout }n,\;u_{n+1}=f(u_n)\\\;\;\;a)\text{ Par récurrence montrer que}\\\;\;\;\forall n,\;\;0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}<3\\\;\;\;b)\text{ En déduire la convergence}\\\;\;\;\text{de la suite et sa limite !}
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 5
Soit f deˊfinie sur R :f(x)=x2−x+1 si x⩽1 etf(x)=−14x2+x+14 si x>1 1) Justifier que f est continuesur R. 2)a) Tracer la fonction f.      b) Pourquoi semble-t-elle      deˊrivable ? 3)a) Calculer les deˊriveˊes des      deux fonctions :      x→x2−x+1      et      x→−14x2+x+14      b) Calculer leurs nombres      deˊriveˊs en 1, conclure.\text{Soit }f\text{ définie sur }\R\text{ :}\\f(x)=\sqrt{x^2-x+1}\text{ si }x\leqslant1\\\text{ et}\\f(x)=-\frac{1}{4}x^2+x+\frac{1}{4}\text{ si }x>1\\ \ \\1)\text{ Justifier que }f\text{ est continue}\\\text{sur }\R.\\ \ \\2)a)\text{ Tracer la fonction }f.\\\;\;\;b)\text{ Pourquoi semble-t-elle}\\\;\;\;\text{dérivable ?}\\ \ \\3)a)\text{ Calculer les dérivées des}\\\;\;\;\text{deux fonctions :}\\\;\;\;x\to\sqrt{x^2-x+1}\\\;\;\;\text{et}\\\;\;\;x\to-\frac{1}{4}x^2+x+\frac{1}{4}\\\;\;\;b)\text{ Calculer leurs nombres}\\\;\;\;\text{dérivés en 1, conclure.}
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
lim⁡x→−∞e2x+ex−1ex−3e2x= ?\lim\limits_{x\to-\infty}\large\frac{e^{2x}+e^x-1}{e^x-3e^{2x}}\normalsize=\text{ ?}
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Maths Spé
Contenu Gratuit
Difficulté 1
Soit (un)n(u_n)_n définie pour n∈N∗n\in\N^* par :
un=1n×(n+1)u_n=\frac{1}{n\times(n+1)}
1. Déterminer sa limite.
2. Montrer que ∀n∈N∗\forall n\in\N^*
un=1n−1n+1u_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}
3. Utilisant le 2. calculer
Sn=u1+...+unS_n=u_1+...+u_n
4. Limite de SnS_n?
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Maths Spé
Contenu Gratuit
Difficulté 1
Soit ff définie sur R\R :
f(x)=x2−x+1f(x)=\sqrt{x^2-x+1} si x⩽1x\leqslant1
et
f(x)=−14x2+x+14f(x)=-\frac{1}{4}x^2+x+\frac{1}{4} si x>1x>1
1) Justifier que f est continue sur R\R.
2)a) Tracer la fonction f
b) Pourquoi semble-t-elle dérivable ?
3)a) Calculer les dérivées des deux fonctions :
x→x2−x+1x\to\sqrt{x^2-x+1}
et
x→−14x2+x+14x\to-\frac{1}{4}x^2+x+\frac{1}{4}
b) Calculer leurs nombres dérivés en 1, conclure.
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Maths Spé
Contenu Gratuit
Difficulté 1
Soit ff définie pour x>-1 :
f(x)=3x+2x+1f(x)=\frac{3x+2}{x+1}
1)a) Justifier que ff est continue.
b) Résoudre f(x)=xf(x)=x
c) Montrer que ff est croissante  \\ \ \\ 2) On définit(un)n(u_n)_n telle que
u0=−0.5u_0=-0.5
et pour tout nn, un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)
a) Par récurrence montrer que
∀n\forall n, 0⩽un⩽un+1<30\leqslant u_n \leqslant u_{n+1}<3
b) En déduire la convergence de la suite et sa limite !
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
Calculer les deˊriveˊes desfonctions sur I : a)  f(x)=cos⁡(1+x2)I=R b)  f(x)=sin⁡(−5x+π4)I=R c)  f(x)=cos⁡(2x)−xsin⁡(2x)+xI=[3;+∞[ d)  f(x)=ecosxI=R\text{Calculer les dérivées des}\\\text{fonctions sur }I\text{ :}\\ \ \\a)\;f(x)=\cos(\sqrt{1+x^2})\quad I=\R\\ \ \\b)\;f(x)=\sin(-5x+\frac{\pi}{4})\quad I=\R\\ \ \\c)\;f(x)=\large\frac{\cos(2x)-x}{\sin(2x)+x}\normalsize\quad I=[3;+\infty[\\ \ \\d)\;f(x)=e^{cosx}\quad I=\R
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Donner le sens de variation de(un) deˊfinie pour n∈N∗ : un=2nn\text{Donner le sens de variation de}\\\normalsize(u_n)\text{ définie pour }n\in\mathbb{N}^*\text{ :}\\ \ \\\large u_n=\LARGE\frac{2^n}{n}
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Maths
Nombres et calculs
Difficulté 3
La somme de trois multiplesconseˊcutifs de 13 est eˊgale aˋ 234. Quels sont ces trois entiers ?\text{La somme de trois multiples}\\\text{consécutifs de }13\text{ est égale à }234.\\ \ \\\text{Quels sont ces trois entiers ?}
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Maths
Nombres et calculs
Difficulté 3
On pose ϕ=1+52. Deˊterminer ϕ2 et montrer que l’onpeut lier ϕ2 et ϕ par une relationsimple.\text{On pose }\phi=\large\frac{1+\sqrt{5}}{2}\normalsize.\\ \ \\\text{Déterminer }\phi^2\text{ et montrer que l'on}\\\text{peut lier }\phi^2\text{ et }\phi\text{ par une relation}\\\text{simple.}
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Maths
Nombres et calculs
Difficulté 3
On suppose que 2 est unquotient de deux entiersrelatifs p et q.Il peut donc s’eˊcrire sous laforme 2=pq ouˋ pq est unquotient irreˊductible. 1. Deˊmontrer que p est pair.2. Eˊtudier la pariteˊ de q.3. Conclure.\text{On suppose que }\sqrt{2}\text{ est un}\\\text{quotient de deux entiers}\\\text{relatifs }p\text{ et }q.\\\text{Il peut donc s'écrire sous la}\\\text{forme }\sqrt{2}=\frac{p}{q}\text{ où }\frac{p}{q}\text{ est un}\\\text{quotient irréductible.}\\ \ \\1.\text{ Démontrer que }p\text{ est pair.}\\2.\text{ Étudier la parité de }q\text{.}\\3.\text{ Conclure.}
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