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Difficulté 1
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
Binoˆme de Newton 1. Soit (x,y) dans R2 et n unentier naturel.Montrer par reˊcurrence que(x+y)n=∑k=0n(nk)xkyn−k 2. Soit a dans R+.Deˊmontrer avec la formule preˊ-ceˊdente l’ineˊgaliteˊ de Bernoulli. En deˊduire que pour tout α>1la suite(αn)n∈N tend vers +∞\text{Binôme de Newton}\\ \ \\1.\text{ Soit }(x,y)\text{ dans }\R^2\text{ et }n\text{ un}\\\text{entier naturel.}\\\text{Montrer par récurrence que}\\ (x+y)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k y^{n-k}\\ \ \\2.\text{ Soit a dans }\R^+.\\\text{Démontrer avec la formule pré-}\\\text{cédente l'inégalité de Bernoulli.}\\ \ \\\text{En déduire que pour tout }\alpha>1\\\text{la suite}(\alpha^n)_{n\in\N}\text{ tend vers }+\infty
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Difficulté 4
Soit (un) la suite deˊfinie pourn∈N par :u0=1un+1=3un−2n+1 1. Calculer u1,u2 et u3. 2. Deˊmontrer, par reˊcurrence, quepour tout entier naturel n, on a :un⩾n+1 Cette suite (un) est-elleconvergente ? 3. Deˊmontrer que la suite (un) estcroissante. 4. Deˊmontrer que, pour tout entiernaturel n, on a :un=3n+n Retrouver ainsi la valeur de u10\text{Soit }(u_{n})\text{ la suite définie pour}\\n\in\N\text{ par :}\\u_{0}=1\\u_{n+1}=3 u_{n}-2 n+1\\ \ \\1.\text{ Calculer }u_{1},u_{2}\text{ et }u_{3}.\\ \ \\2.\text{ Démontrer, par récurrence, que}\\\text{pour tout entier naturel }n\text{, on a :}\\u_{n}\geqslant n+1\\ \ \\\text{Cette suite }(u_{n})\text{ est-elle}\\\text{convergente ?}\\ \ \\3.\text{ Démontrer que la suite }(u_{n})\text{ est}\\\text{croissante.}\\ \ \\4.\text{ Démontrer que, pour tout entier}\\\text{naturel }n\text{, on a :}\\u_{n}=3^{n}+n\\ \ \\\text{Retrouver ainsi la valeur de }u_{10}
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Analyse
Difficulté 4
Soit la fonction f deˊfiniepour tout x diffeˊrent de 1 : f(x)=x2+x−62x−2 1. Deˊterminer l’existence detrois reˊels a, b, c tels que : f(x)=ax+b+c2x−2 2. En deˊduire l’existenced’une asymptote oblique.\text{Soit la fonction }f\text{ définie}\\\text{pour tout }x\text{ différent de 1 :}\\ \ \\f(x)=\large\frac{x^2+x-6}{2x-2}\normalsize\\ \ \\1.\text{ Déterminer l'existence de}\\\text{trois réels a, b, c tels que :}\\ \ \\f(x)=ax+b+\large\frac{c}{2x-2}\normalsize\\ \ \\2.\text{ En déduire l'existence}\\\text{d'une asymptote oblique.}
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Difficulté 5
1. Deˊterminer la limite de f(x)=x1/x en +∞. 2. Soit x reˊel.Deˊterminer la limite deun=(1+xn)n. 3. Limite de f et g en +∞ :f(x)=(1+1x2)x et g(x)=(1+1x)x21.\text{ Déterminer la limite de }\\f(x)=x^{1/x}\text{ en }+\infty.\\ \ \\2.\text{ Soit }x\text{ réel.}\\\text{Déterminer la limite de}\\u_{n}=(1+\frac{x}{n})^n.\\ \ \\3.\text{ Limite de }f\text{ et }g\text{ en }+\infty\text{ :}\\f(x)=(1+\large\frac{1}{x^2}\normalsize)^x\\\text{ et }g(x)=(1+\large\frac{1}{x}\normalsize)^{x^2}
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Maths Spé
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Difficulté 1
Binôme de Newton \\ 1. Soit (x,y)(x,y) dans R2\R^2 et n entier naturel. Montrer par récurrence que \\ (x+y)n=∑i=0n(nk)xkyn−k(x+y)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^n \binom{n}{k}x^k y^{n-k} \\ 2. Soit a dans\text{2. Soit a dans} R+\R^+.
Démontrer avec la formule précédente
l'inégalité de Bernoulli. \\ En déduire que pour tout α>1\alpha>1 \\ la suite(αn)n∈N(\alpha^n)_{n\in\N} tend vers +∞+ \infty
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Maths Spé
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Difficulté 1
Soit (un)\left(u_{n}\right) la suite définie pour n∈Nn \in \N par   \\ \ \\ u0=1u_{0}=1
un+1=3un−2n+1u_{n+1}=3 u_{n}-2 n+1
1. Calculer u1,u2u_{1}, u_{2} et u3u_{3}.
2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel nn, on a :
un⩾n+1u_{n} \geqslant n+1
Cette suite (un)\left(u_{n}\right) est-elle convergente?
3. Démontrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
4. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, on a :
un=3n+nu_{n}=3^{n}+n
Retrouver ainsi la valeur de u10u_{10}
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Maths Spé
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Difficulté 1
En utilisant la formule de la somme
géométrique et la dérivation
calculer pour xx réel et n∈N∗n\in\N^* :
∑k=0nkxk\displaystyle\sum_{k=0}^n kx^k
On distinguera le cas x=1x=1.
Pour |x|<1 trouver la limite
de la somme pour n→∞n\to\infty
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Maths Spé
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Difficulté 5
En utilisant la formule de lasomme geˊomeˊtrique et ladeˊrivation calculer pour x reˊelet n∈N∗ :∑k=0nkxk On distinguera le cas x=1.Pour ∣x∣<1 trouver la limitede la somme pour n→∞\text{En utilisant la formule de la}\\\text{somme géométrique et la}\\\text{dérivation calculer pour }x\text{ réel}\\\text{et }n\in\N^*\text{ :}\\\quad\quad\quad\quad\quad\displaystyle\sum_{k=0}^n kx^k\\ \ \\\text{On distinguera le cas }x=1.\\\text{Pour }|x|<1\text{ trouver la limite}\\\text{de la somme pour }n\to\infty
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
Soit (un)n deˊfinie pour n∈N∗par : un=1n×(n+1) 1. Deˊterminer sa limite. 2. Montrer que ∀n∈N∗un=1n−1n+1 3. Utilisant le 2. calculerSn=u1+...+un 4. Limite de Sn ?\text{Soit }(u_n)_n\text{ définie pour }n\in\N^*\\\text{par : \quad}u_n=\large\frac{1}{n\times(n+1)}\normalsize\\ \ \\1.\text{ Déterminer sa limite.}\\ \ \\2.\text{ Montrer que }\forall n\in\N^*\\u_n=\large\frac{1}{n}\normalsize-\large\frac{1}{n+1}\normalsize\\ \ \\3.\text{ Utilisant le }2.\text{ calculer}\\S_n=u_1+...+u_n\\ \ \\4.\text{ Limite de }S_n\text{ ?}
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 1
1)lim⁡x→−∞x2−2x+3= ?2)lim⁡x→−∞x4+4x3−2x= ?1)\lim\limits_{x\to -\infty}x^2-2x+3=\text{ ?}\\2)\lim\limits_{x\to -\infty}x^4+4x^3-2x=\text{ ?}
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Maths Spé
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Difficulté 3
lim⁡x→+∞2x2+11−x ? Et en −∞ ?\lim\limits_{x\to+\infty}\large\frac{2x^2+1}{1-x}\normalsize\text{ ?}\\ \ \\\text{Et en }-\infty\text{ ?}
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
a)lim⁡x→+∞x2+1−xb)lim⁡x→+∞x2+1x−xa)\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+1}-x\\b)\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{\large\frac{x^2+1}{x}}\normalsize-x
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