Fractions irréductibles : cours et exemples

Auteur : Studeo

Créer le : 9/22/2023

Fractions irréductibles : cours et exemples

Cette fraction est-elle irréductible ? Voici sans doute une question qui doit faire peur à beaucoup d'élèves de 3ème. Pas de panique ! Grâce à cette fiche détaillée et complète, vous allez pouvoir affronter ces exercices sans le moindre soucis.

Une fraction c'est quoi déjà ?

Revenons dans un premier temps sur la définition d'une fraction avant d'aborder la notion d'irréductibilité.

💡 Définition :

Une fraction est un moyen d'écrire un nombre rationnel, donc un nombre qui appartient à

\mathbb{Q}

. En pratique, il s'agit d'une division entre deux nombres relatifs que l'on indique par une barre, la barre de fraction :

\frac{n}{d} ~~ \text{où}

\text{n : numérateur},

\text{d : dénominateur}

Le trait, ou la barre de fraction est un indicateur de la division qui a lieu entre les deux entiers relatifs

n

d

. Il s'agit ainsi d'un nouveau moyen d'indiquer la division. Bien que déconcertant en première approche, cette notation permet en réalité une approche bien plus lisible de la division en comparaison avec le signe

\div

que vous avez surement utilisé jusqu'à maintenant.

Si vous continuez les mathématiques dans votre parcours scolaire, vous retrouverez uniquement la notation sous forme de fraction, alors ne tardez pas à la prendre en main !

Et une fraction irréductible alors ?

La notion d'irréductibilité, qui nous intéresse dans ce cours, suit la définition suivante :

💡 Définition : Une fraction irréductible est une fraction où le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur en commun, hormis 1.

Cette définition paraît bien floue à première lecture et c'est bien normal, revenons alors sur quelques exemples pour la clarifier :

💡 Exemples :

$\frac{2}{3}$
: 2 et 3 sont des nombres premiers, ils ne partagent donc aucun diviseur en commun, hormis 1. La fraction ne peut donc pas être réduite, elle est donc dite irréductible.
$\frac{9}{10}$
: 9 et 10 ne sont pas des nombres mais ils ne partagent tout de même aucun diviseur commun, hormis 1. La fraction est donc irréductible.
$\frac{4}{6}$
: 4 et 6 partagent 2 en diviseur commun, on peut donc réduire cette fraction en divisant à la fois le numérateur et le dénominateur par leur diviseur commun 2, ce qui donne
$\frac{2}{3}$

La subtilité de l'irréductibilité des fractions provient du fait que pour écrire un nombre rationnel, on peut le faire avec une infinité de fraction. Comme le montre les exemples ci-dessus, Il n'existe pas une unique fraction pour chaque nombre rationnel, on peut écrire

\frac{2}{3} = \frac{4}{6}

. Une fraction est ainsi irréductible lorsqu'elle est dans sa forme la plus réduite, avec le numérateur et le dénominateur le plus faible possible.

Finalement, comment rendre une fraction irréductible ?

Les précédents exemples vous ont montré que tout repose dans la détermination des diviseurs communs du numérateur et du dénominateur. S'ils partagent des diviseurs communs alors on peut réduire la fraction grâce à ces diviseurs, sinon alors la fraction est déjà irréductible.

Pour déterminer efficacement l'ensemble des diviseurs d'un nombre relatif, il existe deux méthodes, qui sont en réalité très équivalentes : la décomposition en produit de facteurs premiers ou le PGCD.

Avant de comprendre comment appliquer ces méthodes pour rendre une fraction irréductible, effectuons quelques rappels sur les notions de PGCD et de facteurs premiers

💡 Propriété 1 : Tout entier strictement positif possède une unique décomposition en produit de facteurs premiers. Il peut donc s'écrire de manière unique comme le produit fini de nombre premiers.

💡 Propriété 2 : Le plus grand commun diviseur, PGCD, de deux entiers correspond au plus grand entier permettant de diviser les deux entiers simultanément.

En considérant que le PGCD s'obtient à partir de la décomposition en produit de facteurs premiers, nous n'étudierons ici que la première méthode, la décomposition en produit de facteurs premiers. Mais pas de panique, la méthode du PGCD utilise décomposition en produit de facteurs premiers pour fonctionner, donc autant se concentrer sur la méthode la plus efficace !

La méthode générale pour simplifier une fraction contient trois étapes :

Première étape : Décomposer le numérateur en produit de facteurs premiers.
Deuxième étape : Décomposer le dénominateur en produit de facteurs premiers.
Troisième étape : Procéder à la simplification de la fraction

Mettons en pratique cette méthode de simplification au travers d'un exemple :

💡 Exercice : La fraction

Décomposition de 226 :

216 = 2

\times

108

= 2

\times

\times

= 2

\times

\times

\times

= 2

\times

\times

\times

\times

\times

= 2^3

\times

3^3

Décomposition de 132 :

134 = 2

\times

= 2

\times

\times

= 2^2

\times

\times

Simplification de la fraction :

\frac{216}{134}

\frac{2^3 \times 3^3}{2 \times 2 \times 3 \times 11}

\frac{\not{2^2} \times 2 \times \not{3} \times 3^2}{\not{2^2} \times \not{3} \times 11}

\frac{18}{11}

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Fractions irréductibles : cours et exemples

Fractions irréductibles : cours et exemples

Une fraction c'est quoi déjà ?

💡 Définition :

Et une fraction irréductible alors ?

💡 Définition : Une fraction irréductible est une fraction où le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur en commun, hormis 1.

💡 Exemples :

Finalement, comment rendre une fraction irréductible ?

💡 Propriété 1 : Tout entier strictement positif possède une unique décomposition en produit de facteurs premiers. Il peut donc s'écrire de manière unique comme le produit fini de nombre premiers.

💡 Propriété 2 : Le plus grand commun diviseur, PGCD, de deux entiers correspond au plus grand entier permettant de diviser les deux entiers simultanément.

💡 Exercice : La fraction

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