Comment maîtriser la forme canonique de A à Z 

La manipulation des équations du second degré est l'un des axes majeurs du programme de première S, et il est courant de retrouver des difficultés en rapport avec ce domaine. Grâce à cet article, vous serez en mesure d'utiliser la forme canonique des fonctions du second degré à son plein potentiel pour vous aider dans la résolution de tous les exercices qui vous posent encore des difficultés.

Dans un premier temps, revenons sur la définition de ce qu'est un polynôme du second degré.

fonction polynôme du second degré (ou de degré 2)

En particulier, il est souvent courant de nommer 

Lorsque l'on travaille avec des polynômes on dit que le trinôme du second degré correspond à la 

Forme canonique d'un trinôme du second degré

La seconde forme, qui fait l'objet de cet article, est donc la forme canonique. Elle correspond à une forme factorisée du trinôme du second degré.

 Tout trinôme du second degré peut se mettre sous la forme :

Avec un énoncé de propriété comme ceci on ne comprend pas vraiment d'où ça sort et c'est bien normal. A quoi correspondent les termes 

 ? Comment déterminer la forme canonique d'un polynôme du second degré ?

En réalité, il n'est pas recommandé d'apprendre par coeur la formule de la forme canonique d'une fonction, il est bien plus intéressant de comprendre la méthode qui permet de l'obtenir, à savoir la méthode de la complétion du carré. Voici ci-dessous le démonstration de la propriété précédent qui détaille la méthode de la complétion du carré.

= a(x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2)+ c

= a((x + \frac{b}{2a})^2  - (\frac{b}{2a})^2) + c

~~ \leftarrow \text{On factorise l'identité remarquable}

= a(x + \frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a}

= a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{b^2 - 4ac}{4a}

On retrouve bien la forme canonique de la propriété. 

# Comment maîtriser la forme canonique de A à Z

## Fonction polynôme de degré 2

Dans un premier temps, revenons sur la définition de ce qu'est un polynôme du second degré.

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💡 Définition :

On dit que 

 lorsqu’il existe trois réels $a, b, c$ avec $a \neq 0$  tels que, pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f(x) = a^2x+bx+c$

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En particulier, il est souvent courant de nommer $f$ 

, en référence au trinôme $(a,b,c)$ qui constitue la fonction polynomiale $f$.

Lorsque l'on travaille avec des polynômes on dit que le trinôme du second degré correspond à la 

.

## Forme canonique d'un trinôme du second degré

La seconde forme, qui fait l'objet de cet article, est donc la forme canonique. Elle correspond à une forme factorisée du trinôme du second degré.

<aside>
💡 Propriété :

Soit $a,b,c \in \mathbb{R}$, tel que  $a \neq 0$ Tout trinôme du second degré peut se mettre sous la forme :

$f(x) = a(x-\alpha)^2$ + $\beta

\alpha$ = $-\frac{b}{2a}$ &  $\beta$ = $-(\frac{b^2 - 4ac}{4a}$)

</aside>

Avec un énoncé de propriété comme ceci on ne comprend pas vraiment d'où ça sort et c'est bien normal. A quoi correspondent les termes $\alpha$ et $\beta$ ? Comment déterminer la forme canonique d'un polynôme du second degré ?

En réalité, il n'est pas recommandé d'apprendre par coeur la formule de la forme canonique d'une fonction, il est bien plus intéressant de comprendre la méthode qui permet de l'obtenir, à savoir la méthode de la complétion du carré. Voici ci-dessous le démonstration de la propriété précédent qui détaille la méthode de la complétion du carré.

<aside>
💡 Démonstration :

Comme $a \neq 0$, on peut diviser par $a$, donc :

$ax^2 + bx + c$ $= a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$

$= a(x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2)+ c$

$= a((x + \frac{b}{2a})^2  - (\frac{b}{2a})^2) + c$

$~~ \leftarrow \text{On factorise l'identité remarquable}$

$= a(x + \frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a}$

$= a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{b^2 - 4ac}{4a}$

On retrouve bien la forme canonique de la propriété. $\square$

</aside>

# Comment maîtriser la forme canonique de A à Z

## Fonction polynôme de degré 2

Dans un premier temps, revenons sur la définition de ce qu'est un polynôme du second degré.

En particulier, il est souvent courant de nommer $f$ 

.

## Forme canonique d'un trinôme du second degré

La seconde forme, qui fait l'objet de cet article, est donc la forme canonique. Elle correspond à une forme factorisée du trinôme du second degré.

En réalité, il n'est pas recommandé d'apprendre par coeur la formule de la forme canonique d'une fonction, il est bien plus intéressant de comprendre la méthode qui permet de l'obtenir, à savoir la méthode de la complétion du carré. Voici ci-dessous le démonstration de la propriété précédent qui détaille la méthode de la complétion du carré.

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La manipulation des équations du second degré est l'un des axes majeurs du programme de première S, et il est courant de ret…

Comment maîtriser la forme canonique de A à Z

Comment maîtriser la forme canonique de A à Z

Fonction polynôme de degré 2

💡 Définition :

Forme canonique d'un trinôme du second degré

💡 Propriété :

💡 Démonstration :

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