La fonction inverse - Cours de maths pour lycée
La fonction inverse - Cours de maths pour lycée
La fonction inverse est une fonction essentielle en mathématiques, mais elle comporte beaucoup de subtilités qu'il faut avoir l'habitude de manier. Grâce à ce cours, tu pourras réussir tous les exercices avec brio.
La fonction inverse, c'est quoi exactement ?
Définition de la fonction
La fonction inverse est définie par la fonction qui a tout réel non nul x associe son inverse
La fonction est définie de
De même, l'ensemble d'arrivée de la fonction est
Supposons qu'il existe un antécédent de 0 par la fonction inverse. Ainsi, il existe
Ainsi, l'ensemble d'arrivée de la fonction inverse est
Graphe et tableau de variations
Le graphe de la fonction est caractéristique, la courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.
On remarque qu'elle n'est effectivement pas définie en $0$ . De plus, la fonction inverse est strictement décroissante. Cela se vérifie avec le calcul de la dérivée.
A l'aide du graphe, on peut trouver le tableau de variations de la fonction. Tu peux aller voir l'article (...) pour en savoir plus.
Preuve : Pour trouver la dérivée, on calcule le taux d'accroissement de la fonction.
Soient
On met tout au même dénominateur afin de pouvoir réduire la fraction. On a ainsi :
Dans le but de connaître la dérivée, on calcule la limite en 0 de ce taux d'accroissement.
D'où,
Propriété de la fonction
Comme tu peux le remarquer sur le graphe, la courbe possède un centre de symétrie en 0 c'est-à-dire que la fonction est impaire. On le vérifie en montrant que
Un petit exemple d'application
Avec ce qui est au dessus, tu as assez d'outils pour étudier des fonctions dérivées de la fonction inverse.
Etudions par exemple la fonction
Domaine de définition
Il faut d'abord trouver le domaine de définition de cette fonction. On ne peut pas diviser par
Allure de la courbe et tableau de variations
Tu peux tracer le graphe de la fonction $g$ à l'aide de ta calculatrice. Tu obtiens ainsi le graphe suivant :
Comme tu peux le voir, l'allure de la courbe est la même, elle semble inversée par rapport à l'axe des abscisses. En effet, cela est dû au facteur
Le tableau de la variation de cette fonction se déduit de l'allure de la courbe.
Deux méthodes pour calculer la dérivée
Il y a deux manières principales de calculer la dérivée, en fonction de ton niveau scolaire.
Comme précédemment, il est possible de repartir de la définition et ainsi calculer le taux d'accroissement et sa limite.
Soient
On factorise par $-3$ pour simplifier les calculs puis on met tout au même dénominateur afin de pouvoir réduire la fraction . On a ainsi :
Afin de connaître la dérivée, on calcule la limite en 0 de ce taux d'accroissement.
D'où,
