Apprendre les maths en ligne : La fiche ultime sur le triangle isocèle
Apprendre les maths en ligne : La fiche ultime sur le triangle isocèle
Le triangle isocèle est un i ncontournable du programme de mathématiques . Du collège au lycée, la connaissance de ses propriétés est indispensable dans la résolution de beaucoup d'exercices de géométrie . Cet article sert de récapitulatif complet et détaillé sur le triangle isocèle.
Qu'est ce qu'un triangle isocèle ?
Tout d'abord, un triangle isocèle est avant tout un triangle, c'est à dire une forme géométrique à trois cotés. Un triangle quelconque ne suit aucune propriété particulière et il en existe une infinité.
Le triangle isocèle quant à lui, se distingue par sa propriété principale : il possède deux cotés égaux, c'est à dire de même longueur.
💡 Définition : Un triangle isocèle de sommet A est un triangle dont les côtés adjacents au point A sont de même longueur. On dit alors que le côté opposé au sommet A est la base du triangle.
Les propriétés générales
Le triangle isocèle regroupe un ensemble de propriété générale que nous allons récapituler :
Propriété n°1 : Les angles
La définition du triangle isocèle implique immédiatement une propriété sur les angles du triangle. En effet, puisque deux des cotés sont égaux, les angles formés par ces côtés avec la base du triangle sont ainsi également égaux. Le schéma suivant illustre cette propriété.
Cette propriété est d'ailleurs en réalité une équivalence. En effet, la réciproque est vraie, on peut identifier un triangle isocèle en remarquant qu'il possède deux angles identiques ! N'hésitez pas à utiliser cette propriété dans vos exercices.
Propriété n°2 : Médiane, Hauteur et Bissectrice
Rappelons dans un premier temps la définition de chacune de ces notions de géométrie :
💡 Définitions :
- Médiane : La médiane d'un triangle est un segment qui relie le sommet d'un triangle au milieu du côté opposé à ce sommet. Un triangle en possède donc trois.
- Hauteur : La hauteur du côté d'un triangle est une droite qui est perpendiculaire au côté et qui passe par le sommet opposé. Un triangle en possède donc trois.
- Bissectrice : La bissectrice d'un angle est la droite qui sépare cet angle en deux angles égaux. Une fois encore, un triange en possède trois.
En prenant en compte ces définitions, on en déduit que dans un triangle isocèle de sommet A, la médiane, la hauteur et la bissectrice sont entièrement confondues pour le sommet du triangle. Elles sont toutes trois issues du sommet A et traverse la base du triangle en son milieu. La figure suivante récapitule cette propriété :
De plus, on peut également remarquer que la médiane, la hauteur et la bissectrice sont également confondues avec la médiatrice du côté BC, c'est à dire la droite perpendiculaire au côté BC et qui la coupe en son milieu. Elles constituent également un axe de symétrie du triangle.
Les formules de calcul
Calcul de la hauteur
Pour calculer la hauteur d'un triangle, on utilise toujours le théorème de Pythagore sur le triangle rectangle formée par la hauteur.
Le théorème de Pythagore appliquée au triangle AHC permet d'écrire :
On en déduit alors que la hauteur du triangle AH, s'écrit :
Calcul de l'aire d'un triangle isocèle
Le calcul de l'aire d'un triangle isocèle est identique à un triangle quelconque. Le fait que deux côtés soient de même longueur ne permet pas de simplifier la méthode.
On retrouve alors :
Les cas particuliers
Il existe bien d'autres types de triangle, et il n'est pas impossible que les caractéristiques de chacun se croisent, on peut alors retrouver des triangle rectangle isocèle, ou encore des triangles équilatéraux, qui sont des cas particuliers de triangle isocèle. Nous allons les étudier dans la suite de cet article.
Le triangle rectangle isocèle
Le triangle rectangle isocèle, comme son nom l'indique, possède deux côtés de même longueur ainsi qu'un angle droit située au niveau du sommet du triangle isocèle.
Pour un tel triangle, les propriétés du triangle isocèle sont toujours vérifiées bien entendu mais la présence de l'angle droit permet d'obtenir des informations supplémentaires.
En particulier, puisque la somme des angles d'un triangle quelconque est égale à 180°, et que l'angle droit est, par définition, de 90°. On peut en déduire que la somme des deux derniers angles, qui sont égaux puisque le triangle est isocèle, est égale à 90°.
Finalement, les deux angles identiques d'un triangle rectangle isocèle sont donc toujours égaux à 45°. Cette information est importante à retenir puisqu'elle ne sera pas nécessairement précisé dans les exercices que vous allez rencontrez.
Le triangle équilatéral
Le triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont de même longueur. Il s'agit donc d'un cas particulier du triangle isocèle où la base du triangle est égale aux deux autres côtés.
Ce triangle aura donc les trois côtés de même longueur, ainsi que les trois angles de même valeurs. La même démarche que pour le triangle rectangle isocèle permet en outre de montrer que ces angles valent exactement 60°.
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