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Fonctions - Métropole 2022

Cet exercice concerne les fonctions logarithmiques et se compose de plusieurs questions. Dans la première question, on nous donne une équation avec la fonction logarithmique et on nous demande combien de solutions elle a. En résolvant l'équation, on trouve deux solutions, donc la réponse est "exactement une solution". Dans la deuxième question, on nous donne une fonction et on nous demande si elle est convexe ou concave. En utilisant la dérivée seconde de la fonction, on trouve qu'elle a un point d'inflexion, donc la réponse est "elle a un point d'inflexion". Dans la troisième question, on nous donne une fonction et on nous demande de trouver une primitive de cette fonction. En utilisant une méthode rapide, on identifie une forme similaire à celle de la dérivée du logarithme, et on trouve que la primitive est "-1,5 log de (1 - x carré)". Dans la quatrième question, on nous donne une fonction et on nous demande dans quel intervalle elle est strictement positive. En étudiant le signe du polynôme correspondant, on trouve que la fonction est strictement positive dans l'intervalle (-3, 2), donc la réponse est "x appartient à (-3, 2)". Dans la cinquième question, on nous donne une fonction et on nous demande l'équation de sa tangente en un point donné. En utilisant la dérivée de la fonction et les coordonnées du point, on trouve que l'équation de la tangente est "2x - 1". Enfin, dans la dernière question, on nous donne une inégalité avec des logarithmes et on nous demande quel ensemble de solutions est correct. En résolvant l'inégalité, on trouve que les valeurs de x doivent être dans l'intervalle (-∞, -2) U (1, +∞), donc la réponse est "x ∈ (-∞, -2) U (1, +∞)". Voilà pour ce résumé SEO-friendly de l'exercice sur les fonctions logarithmiques.
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Probabilités - Métropole 2022

Cet exercice de bac sur les probabilités consiste en deux parties. Dans la première partie, il faut calculer des probabilités en utilisant des intersections, des arbres de probabilités, des probabilités conditionnelles, et parfois des probabilités d'indépendance. Dans la deuxième partie, on étudie des variables aléatoires qui suivent généralement une loi normale. On cherche par exemple l'espérance ou à partir de quel valeur la probabilité est supérieure à 0,99. Dans cet exercice, on nous parle d'une maladie appelée l'erlichiose chez les coyotes de l'état de l'Oklahoma aux États-Unis. On nous donne des informations sur un test qui permet de détecter cette maladie. La probabilité qu'un coyote soit malade est de 70% et si le coyote est malade, le test est positif dans 97% des cas. Si le coyote n'est pas malade, le test est négatif dans 95% des cas. On nous demande de calculer différentes probabilités et de déterminer la valeur prédictive positive et négative du test. Dans la deuxième partie de l'exercice, on nous parle de l'échantillon de 5 coyotes capturés au hasard. On associe à chaque coyote le nombre de tests positifs. On utilise la loi binomiale pour calculer la probabilité qu'un seul coyote ait un test positif dans cet échantillon. On nous demande ensuite de calculer la probabilité qu'au moins 4 coyotes sur 5 aient un test positif et de déterminer combien de coyotes doivent être
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Géométrie - Métropole 2022

Cet exercice de géométrie dans l'espace porte sur plusieurs concepts tels que l'orthogonalité, les équations cartésiennes, les représentations paramétriques, les projections orthogonales, les longueurs et les volumes de tétraèdres. Tout d'abord, nous devons déterminer les coordonnées des points E, F, G et K dans un repère donné. En utilisant une lecture graphique, nous trouvons que les coordonnées sont les suivantes : E (0, 0, 1), F (1, 0, 1), G (1, 1, 1) et K (1, 1,5, 0). Ensuite, nous devons montrer que le vecteur N (2, -2, 1) est orthogonal au plan E, G, K. Pour cela, nous utilisons la définition d'orthogonalité entre un vecteur et deux vecteurs non collinéaires d'un plan. En calculant les produits scalaires entre N et les vecteurs EG et EK, nous obtenons des résultats de 0. Ainsi, N est bien orthogonal au plan E, G, K. Nous devons également montrer que le plan E, G, K est admet une équation cartésienne de la forme 2x - 2y + z - 1 = 0. Pour cela, nous utilisons le fait que le vecteur N est orthogonal au plan E, G, K, ce qui implique une équation cartésienne de la forme 2x - 2y + z + D = 0. En remplaçant les coordonnées du point E dans cette équation, nous trouvons que D = -1. Ainsi, le plan E, G, K admet bien l'équation cartésienne demandée. Ensuite, nous devons déterminer la représentation paramétrique de la droite D, qui est orthogonale au plan E, G, K et qui passe par le point F. Comme le vecteur N est orthogonal au plan E, G, K, il peut être utilisé comme vecteur directeur de la droite D. En utilisant les coordonnées du point F (1, 0, 1) et du vecteur N, nous obtenons la représentation paramétrique de la droite D : x = 1 + 2t, y = -2t, z = 1 + t. Nous devons également trouver les coordonnées du projeté orthogonal L de F sur le plan E, G, K, qui sont (5/9, 4/9, 7/9). Pour cela, nous utilisons le fait que le point L est à la fois sur la droite D et le plan E, G, K. En résolvant les équations résultantes, nous trouvons que le paramètre t est égal à -2/9. En remplaçant cette valeur dans les coordonnées de la droite D, nous obtenons les coordonnées du point L comme demandé. Ensuite, nous devons justifier que la longueur LF est égale à 2/3. En utilisant la formule classique de distance dans l'espace, nous calculons la distance LF en substituant les coordonnées dans la formule et obtenons le résultat de 2/3. Nous devons également calculer l'aire du triangle EFG et en déduire que le volume du tétraèdre EFGK est égal à 1/6. En utilisant la formule de l'aire d'un triangle (demi-produit des longueurs des côtés), nous trouvons que l'aire du triangle EFG est de 1/2. En utilisant la formule du volume d
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Suites et fonctions - Polynésie 2022

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Suites - Polynésie 2022

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Probabilités - Polynésie 2022

Dans cet exercice de probabilités, nous nous intéressons à une maladie affectant 7% de la population. Un test de dépistage est utilisé, donnant un résultat négatif dans 20% des cas pour les individus malades et un résultat positif dans 1% des cas pour les individus sains. La première question consiste à calculer la probabilité d'être malade et d'avoir un test positif. On utilise pour cela un arbre pondéré en se basant sur les informations données dans l'énoncé. La probabilité (M inter T) est obtenue en multipliant la probabilité d'être malade (0,07) par la probabilité d'avoir un test positif sachant qu'on est malade (0,01), ce qui donne 0,056. Dans la deuxième question, on nous demande de démontrer que la probabilité d'avoir un test positif est de 0,0653. On utilise la formule des probabilités totales en considérant les cas où la personne est malade (0,056) et les cas où la personne n'est pas malade et a un test positif (0,0653), ce qui donne bien 0,0653. Ensuite, on nous demande quelle probabilité est la plus pertinente dans le contexte
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Géométrie - Polynésie 2022

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Fonctions - Asie 2022

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Probabilités - Asie 2022

Dans cet exercice de Bac sur les probabilités, on aborde les probabilités conditionnelles, l'indépendance et les variables aléatoires. La première partie porte sur les év
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Suites - Asie 2022

Dans cet exercice, nous nous intéressons au développement d'une bactérie et nous utilisons certaines hypothèses pour modéliser ce développement. La probabilité que la bactérie meure sans descendance est de 0,3, tandis que la probabilité qu'elle se divise en deux bactéries est de 0,7. Nous définissons Pn comme la probabilité d'obtenir au moins n descendants pour une bactérie. La relation de récurrence est donnée par Pn+1 = 0,3 + 0,7Pn². Nous devons calculer les valeurs exactes de P1 et P2. Nous utilisons simplement la formule pour calculer P1 = 0,363 et P2 = 0,3922383. En interprétant ces valeurs, nous concluons que la bactérie a plus de chances d'avoir au moins 1 ou 2 descendants que de ne pas se reproduire. Ensuite, nous devons trouver la probabilité d'obtenir au moins 11 générations de bactéries à partir d'une bactérie de ce type. Nous utilisons la formule 1 - P10 pour obtenir une probabilité d'environ 0,571. En analysant le tableau des valeurs, nous formulons des conjectures sur les variations et la convergence de la suite Pn. Il semble que la suite soit croissante et converge vers une limite d'environ 0,428. Nous prouvons ensuite par récurrence que pour tout entier naturel n, Pn est plus petit que Pn+1 et les deux valeurs sont comprises entre 0 et 0,5. Pour justifier que la suite est convergente, nous utilisons l'inégalité donnée dans l'énoncé qui montre que Pn est plus petit que Pn+1. Nous déterminons ensuite la limite de la suite en résolvant une équation du second degré. Nous trouvons que la limite est 3/7, soit environ 0,430. Enfin, nous complétons une fonction en langage Python qui renvoie les n premiers termes de la suite. Nous utilisons une boucle for pour remplir un tableau avec les valeurs calculées et nous renvoyons ce tableau à la fin. C'est ainsi que se termine cet exercice d'algorithmique et de programmation sur les suites en utilisant des probabilités.
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Fonctions - Nouvelle Calédonie 2022

Cet exercice de mathématiques porte sur les fonctions, les fonctions logarithmes et la convexité. Il comprend des questions sur l'étude des limites, des dérivées, des variations, du théorème des valeurs intermédiaires et de la convexité. La dernière question concerne les positions relatives d'un segment et de la courbe d'une fonction en fonction d'une valeur donnée. L'exercice a été résolu en calculant les limites, les dérivées, en factorisant les expressions, en étudiant les signes et en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires et les propriétés de la convexité. Une illustration graphique a également été utilisée pour expliquer les positions relatives du segment et de la courbe.
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Suites et fonctions - Nouvelle Calédonie 2022

Dans cet exercice de mathématiques sur les suites fonctions, nous étudions la fonction exponentielle avec une suite définie par récurrence. Nous commençons par calculer u1 et u2, puis nous démontrons que f'(x) = x² exponentielle de x fois x plus 3. Nous justifions le tableau de variation de f et démontrons par récurrence que pour tout antinaturel, moins 1, inférieur ou égal à un, inférieur ou égal à un plus 1, inférieur ou égal à 0. Ensuite, nous déduisons que la suite un est croissante et majorée, ce qui implique qu'elle converge vers un réel inférieur ou égal à 0. Nous admettons qu'il existe une unique solution de l'équation f de x égale x strictement supérieure à 1,5, puis nous trouvons que cette solution est égale à 0, ce qui conclut l'exercice.