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Une suite récurrente !

Dans cette vidéo, le professeur corrige le premier exercice du Tessia de 2022, qui concerne une suite récurrente. Il explique que cette suite est appelée une suite arithmético-géométrique et donne des conseils pour résoudre les questions. Il souligne l'importance de connaître les définitions des suites arithmétiques et géométriques pour pouvoir les exclure. Il propose également une astuce pour utiliser uniquement la différence entre deux termes consécutifs pour déterminer la nature de la suite. Ensuite, il explique comment trouver l'expression de la suite a_n et de la limite de u_n. Enfin, il termine en rédigeant une démonstration pour justifier la limite de u_n.

Identités algébriques !

Dans cette deuxième vidéo sur la correction du TESIA 2022, l'enseignant aborde l'exercice d'identité remarquable. Il mentionne également la date limite d'inscription pour le concours TESIA, soulignant son intérêt pour les participants potentiels. L'exercice commence par des simplifications de calcul, où il faut mettre les termes au même dénominateur. Certaines parties sont plus complexes et nécessitent une attention particulière. L'enseignant conseille aux candidats de bien connaître les identités remarquables et de ne pas se précipiter. Il souligne l'importance de maîtriser les calculs pour réussir dans les études supérieures. L'enseignant propose ensuite plusieurs méthodes pour résoudre une question plus difficile (M13) : trouver un cas particulier qui fonctionne pour une réponse donnée, effectuer des calculs avec des valeurs spécifiques, ou faire une démonstration plus approfondie en analysant chaque partie

Equations et inéquations !

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Des probabilités !

Dans ce cours, nous avons étudié un exercice sur les probabilités. Le premier conseil que l'enseignant donne est de faire un dessin complet avec un arbre de possibilités pour mieux comprendre la situation. Dans cet exercice, on nous indique qu'il y a une boule bleue et trois boules rouges. Si on tire une boule bleue, on la remet dans l'urne et on ajoute 5 boules bleues. Si on tire une boule rouge, on ne fait rien. Ensuite, on nous demande de faire un tirage numéro 2 selon les mêmes règles. Pour cela, on peut faire un arbre complet, mais faute d'espace, l'enseignant fait un dessin pour illustrer les différentes situations possibles. On peut ensuite résoudre les questions en se basant sur ce dessin. Par exemple, la probabilité d'obtenir une boule rouge au premier tirage est de 3/4. Si on suppose qu'on a tiré une boule bleue au premier tirage, la probabilité d'obtenir une boule bleue au deuxième tirage est de 5/12. On peut également calculer la probabilité d'obtenir deux boules bleues, une à chaque tirage, qui est de 1/6. Finalement, on nous demande de comparer la probabilité d'obtenir une boule bleue au deuxième tirage avec la probabilité d'obtenir une boule rouge. En utilisant les résultats précédents, on peut conclure que la probabilité d'obtenir une boule bleue au deuxième tirage est plus petite que la probabilité d'obtenir une boule rouge. Ensuite, nous abordons le cas d'une variable aléatoire X qui représente le nombre de boules bleues tirées dans l'expérience. On définit l'univers de cette variable comme étant {0, 1, 2}, c'est-à-dire qu'on peut obtenir 0, 1 ou 2 boules bleues. On calcule ensuite la probabilité d'obtenir X égal à 1 en utilisant les résultats précédents. On trouve que cette probabilité est de 1/3. Enfin, on nous demande de calculer l'espérance de la variable X. Pour cela, on utilise la formule de l'espérance qui consiste à multiplier chaque valeur possible de X par sa probabilité correspondante, puis à sommer le tout. On trouve que l'espérance de X est de 2/3. Voilà, en résumé, ce cours était une correction d'un exercice sur les probabilités avec différents calculs à faire en se basant sur un dessin représentant les différentes situations possibles.

Limites de fonctions !

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Nombres complexes en terminale

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Nombres complexes et géométrie en terminale

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Toutes les méthodes d'arithmétique

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Solutions d'une équation de degré 5 !

Le cours aborde la résolution d'une équation de degré 5 qui consiste à trouver le nombre de solutions réelles en fonction d'un paramètre p. L'exercice nécessite une analyse approfondie de la fonction x^5 - 5x - p. Un graphe de la fonction est présenté pour illustrer les différentes valeurs de p et le nombre de solutions correspondant. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, le professeur détermine différentes conditions pour le nombre de racines en fonction de la valeur de p. Il trouve qu'il y a une unique racine entre 1 et l'infini pour p>4, deux racines pour p=4, et trois racines pour -4<p<4. Pour p<-4, il y a à nouveau une unique racine. En résumé, l'ensemble des solutions de l'équation dépend de la valeur de p et peut être déterminé en analysant les différentes conditions. Le professeur encourage les étudiants à poser des questions et conclut en indiquant que d'autres exercices du même type seront présentés dans des vidéos futures.

Étude de fonction avec paramètre !

Dans cette vidéo, nous allons corriger un exercice de mathématiques portant sur une fonction avec un paramètre P. L'exercice peut sembler simple au premier abord, mais il est en réalité assez long, notamment à cause de détails et de questions auxiliaires. L'équation donnée est Exponentielle x égale 2 moins x puissance P, et nous devons prouver qu'il existe une seule solution positive à cette équation lorsque P est égal à 0. Nous pouvons exclure le cas P égal à 0 rapidement car cela donnerait 2 moins x puissance 0, qui est égal à 1, donc cela ne nécessite pas d'étude supplémentaire. Ensuite, nous devons montrer qu'il n'y a qu'une seule solution positive à l'équation pour P non nul, et nous devons également vérifier si des solutions négatives sont possibles. Pour répondre à ces questions, nous utilisons une méthode générale consistant à poser une fonction et à étudier ses propriétés, notamment ses dérivées. Nous utilisons également un théorème de valeur intermédiaire pour montrer l'existence de solutions. Dans le cas où P est impair, nous montrons que la fonction a une unique solution sur R+ (l'ensemble des nombres réels positifs). Dans le cas où P est pair, nous séparons l'étude de la fonction en deux parties : R+ et R-. Sur R+, nous montrons également qu'il y a une unique solution. Sur R-, nous utilisons les dérivées de la fonction pour montrer qu'il existe une valeur négative où la fonction s'annule. En conclusion, nous avons donc démontré qu'il existe une unique solution positive pour toute valeur de P, et des solutions négatives pour certaines valeurs de P. Malgré la complexité de l'exercice, il est possible de résoudre les questions en utilisant des méthodes standard telles que le calcul de dérivées et l'utilisation du théorème de valeur intermédiaire.

Développer des cubes

La vidéo est une transcription d'un cours sur la résolution d'un exercice lié au Bachelor de l'école polytechnique. Le cours explique comment simplifier et développer la formule de (A + B) au cube. Il rappelle d'abord la formule de base A cube + 3A carré B + 3A B carré + B cube, puis propose deux astuces pour retrouver les formules plus facilement. La première astuce consiste à remarquer que les puissances totales de chaque terme sont toujours égales à 3, et elles sont décroissantes pour A et croissantes pour B. La deuxième astuce est d'utiliser le triangle de Pascal pour trouver les coefficients devant chaque terme. En combinant ces deux astuces, on peut facilement trouver la formule pour n'importe quelle puissance de (A + B). Ensuite, le cours résout l'exercice en utilisant la formule (A + B) au cube et (X + A) au cube, puis en faisant la différence des deux. Finalement, il trouve que la différence est égale à 6X carré A + 2A cube. Le cours se conclut en rappelant que cette astuce peut être utile pour calculer n'importe quelle puissance d'une somme.