Double racine

Bonjour à tous, dans cet exercice sur les limites, nous devons montrer que la fonction f est définie sur l'ensemble des réels. Pour cela, nous examinons les racines de la fonction. Pour la première racine, nous remarquons que x² et 1+x² sont toujours strictement positifs, donc il n'y a pas de problème. En ce qui concerne la deuxième racine, nous devons faire deux cas : si x > 0, alors x est positif et 1+x² est positif, donc pas de problème. Si x < 0, nous comparons les deux termes et remarquons que 1+x² est plus grand que x², donc racine(1+x²) est bien défini et positif. Ainsi, les racines sont définies pour tout x appartenant à R, donc l'ensemble de définition de f est R. Pour la deuxième question, nous devons justifier que f est dérivable sur tout R. Pour cela, nous devons montrer que l'intérieur des racines est strictement positif. En utilisant les inégalités précédentes, nous pouvons conclure que l'intérieur des racines est strictement positif pour tout x. Nous justifions également que la fonction racine est dérivable en 0, car nous avons déjà montré que son intérieur est strictement positif. Donc, f est dérivable sur R. Ensuite, nous calculons la dérivée de f en utilisant la composition et les formules de dérivation. Nous obtenons une expression pour f'(x) qui est toujours strictement positive. Donc, f est strictement croissante sur R. Nous passons ensuite à l'étude des limites. La limite de f lorsque x tend vers plus l'infini est plus l'infini, ce que nous justifions en composant avec la limite de racine. La limite de f lorsque x tend vers moins l'infini est 0, ce que nous démontrons en utilisant la quantité conjuguée. Ainsi, nous concluons que la limite de f lorsque x tend vers plus l'infini est plus l'infini et la limite de f lorsque x tend vers moins l'infini est 0. Enfin, nous traçons le graphique de f en utilisant des valeurs remarquables. Nous vérifions que f tend vers moins l'infini lorsque x tend vers 0 et que f tend vers plus l'infini lorsque x tend vers plus l'infini. C'était la correction de cet exercice sur les limites. N'hésitez pas à poser vos questions dans la FAQ. Merci !