Démo infinité des premiers

Dans cet exercice, on démontre l'existence d'une infinité de nombres premiers. On suppose initialement que le nombre de nombres premiers est fini, puis on crée un ensemble P qui contient tous ces nombres premiers. Ensuite, nous construisons un nouveau nombre P étoile en multipliant tous les nombres premiers de P ensemble et en ajoutant 1. La première question consiste à montrer que pour tout i dans P, Pi ne divise pas P étoile. Supposons par l'absurde qu'il existe un i tel que Pi divise P étoile. Par construction, P étoile est congru à 1 modulo Pi, ce qui contredit le fait que Pi divise P étoile. Nous en déduisons qu'aucun nombre premier de l'ensemble P ne divise P étoile. Ensuite, nous montrons par contradiction que P étoile n'est pas un nombre premier car il est strictement plus grand que le plus grand nombre premier de P. Or, selon le critère d'arrêt, il existe un nombre premier Pi dans P qui divise P étoile, ce qui contredit la première question. Ainsi, nous avons une contradiction et cela prouve qu'il existe une infinité de nombres premiers.