Inégalité de Bernoulli : visuel

Dans cette vidéo, le cours aborde l'inégalité de Bernoulli, qui affirme que pour tout nombre réel positif A et tout nombre entier N, l'inégalité suivante est vérifiée : 1 + A^N ≥ 1 + NA. Cette inégalité est étudiée dans le cadre de la récurrence, car il est facile de la démontrer en utilisant le principe de récurrence. Pour donner une intuition graphique de cette formule, le professeur l'analyse en termes de fonctions. Plus précisément, il compare la fonction 1 + A^X à la fonction 1 + AX. L'idée est que la fonction exponentielle (1 + A^X) monte beaucoup plus rapidement que la fonction affine (1 + AX), ce qui explique pourquoi 1 + A^N est toujours plus grand ou égal à 1 + NA. Le professeur utilise une simulation graphique pour illustrer cette idée. Il affiche les deux fonctions (1 + A^X en bleu et 1 + AX en vert) en fonction de la valeur de A, qu'il peut ajuster. En déplaçant la valeur de A, on observe que les fonctions évoluent différemment. La fonction exponentielle 1 + A^X a une croissance exponentielle, tandis que la fonction affine 1 + AX a une croissance linéaire. En s'approchant de certaines valeurs de A, on peut voir que la fonction exponentielle est toujours au-dessus de la fonction affine. Cependant, entre 0 et 1, la fonction affine semble être parfois au-dessus de la fonction exponentielle. Cela montre que l'inégalité n'est pas toujours vérifiée pour tous les nombres réels entre 0 et 1. Cependant, pour les entiers, les deux fonctions sont égales pour les valeurs 0 et 1. Le professeur souligne que l'intérêt de cette inégalité réside dans son application dans les démonstrations mathématiques. Elle repose sur une réalité de fonction que l'on connaît bien, ce qui facilite sa compréhension et son utilisation. Il encourage les élèves à poser des questions et à consulter la Foire Aux Questions (FAQ) pour plus d'informations. Une simulation graphique est également mise à leur disposition pour les aider à comprendre cette inégalité.