Récurrence et croissance

La démonstration par récurrence est une méthode utilisée en mathématiques pour prouver qu'une propriété est vraie pour tous les rangs d'une suite. Dans cet exemple, nous devons montrer par récurrence que la suite est strictement décroissante. Pour ce faire, nous commençons par définir la propriété P2n, qui est vraie au rang n. Dans ce cas, nous devons montrer que Un+1 est plus petit que Un. Nous commençons par l'initialisation en calculant les premiers termes de la suite (U0 et U1) pour vérifier la propriété au premier rang. Ensuite, nous utilisons l'hypothèse de récurrence pour montrer que la propriété est vraie pour le rang suivant (n+1). Dans cet exemple, nous utilisons une fonction affine f(x) = 2x - 6 pour montrer la propriété. Nous constatons que cette fonction est strictement croissante, ce qui nous permet de conclure que Un+2 est plus petit que Un+1. En utilisant le principe de récurrence, nous concluons que la suite est strictement décroissante pour tous les rangs n. Il est important d'utiliser des parenthèses pour distinguer entre le réel Un et l'objet suite Un.