Conjecture puis récurrence

La vidéo porte sur la démonstration par récurrence pour calculer la somme des entiers de 1 à n. La formule à connaître est que la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à n(n+1)/2. Il est important de connaître le résultat que l'on souhaite démontrer pour utiliser cette méthode. On suppose la proposition p2n valide pour tout n appartenant à n étoiles, mais cela ne s'applique pas pour n égal à 0. On commence par l'initialisation où la formule est validée pour n=1. Ensuite, on utilise l'hérédité en supposant que p2n est vrai pour un n quelconque. On souhaite montrer que p2n+1 est vrai, c'est-à-dire que la somme des entiers de 1 à n+1 est égale à (n+1)(n+2)/2. On remplace chaque n dans l'expression p2n par n+1 pour obtenir p2n+1. On applique la formule de récurrence p2n pour montrer que p2n+1 est vrai. On factorise par n+1 dans l'expression et on obtient (n+1)(n+2)/2, ce qui prouve l'hérédité. Ainsi, selon le principe de récurrence, la somme des entiers de 1 à n est égale à n(n+1)/2 pour tout n non nul.