Étude TRES complète

Dans ce cours, nous étudions une fonction donnée par f(x) = √(x² - 1) / (x² - 1). Pour trouver les conditions d'existence de cette fonction, nous devons faire attention à deux choses. Tout d'abord, il faut que ce qui se trouve sous la racine soit positif ou nul, ce qui signifie que x doit être plus grand que 1 ou plus petit que -1. De plus, la fonction ne doit pas être définie pour x² - 1 = 0, c'est-à-dire lorsque x = 1 ou x = -1, car cela entraînerait une division par 0. En utilisant ces conditions, nous pouvons déterminer les limites de la fonction. Nous remarquons tout d'abord que la fonction est impaire, ce qui nous permet de déduire les limites pour x tendant vers plus ou moins l'infini en se basant sur l'évolution de la fonction pour x près de 0. Cela nous permet de trouver que la limite de la fonction lorsque x tend vers plus ou moins l'infini est égale à 1 et -1 respectivement. Ensuite, nous trouvons les limites pour x tendant vers 1 ou x tendant vers plus infini en utilisant les propriétés de l'imparité de la fonction. Nous trouvons que la limite de la fonction lorsque x tend vers 1+ est égale à -1 et la limite lorsque x tend vers plus infini est égale à 1. Par symétrie par rapport à l'origine, nous pouvons ensuite déduire les limites pour x tendant vers -1 et x tendant vers moins infini. Enfin, nous examinons la présence d'asymptotes dans le graphe de la fonction. Nous trouvons une asymptote horizontale pour y = 1 lorsque x tend vers plus infini, une asymptote horizontale pour y = -1 lorsque x tend vers moins infini et une asymptote verticale pour x tendant vers -1. En résumé, la fonction f(x) = √(x² - 1) / (x² - 1) a une limite de 1 lorsque x tend vers plus ou moins l'infini, une limite de -1 lorsque x tend vers 1 ou x tend vers moins l'infini, et présente des asymptotes horizontales pour y = 1 lorsque x tend vers plus infini et y = -1 lorsque x tend vers moins infini, ainsi qu'une asymptote verticale pour x tendant vers -1.