Dériver une composée

Dans cette vidéo, nous allons voir comment dériver une fonction composée. Nous avons déjà vu la notion de composition en première année, mais nous allons maintenant approfondir cette théorie. La dérivation d'une fonction composée peut sembler complexe, mais nous allons commencer par des exemples simples. Prenons par exemple la fonction u dérivable et le réel x. Nous savons que la dérivée de 1/x est -1/x^2. On pourrait donc penser que la dérivée de 1/u est -1/u^2. Cependant, il ne faut pas oublier le facteur u' dans la formule. La bonne formule est donc 1/u' = -u'/u^2. Reprenons avec la racine carrée de x. La dérivée de √x est 1/(2√x). On pourrait donc penser que la dérivée de √u est 1/(2√u). Mais encore une fois, il ne faut pas oublier le facteur u'. La bonne formule est u'/2√u. La règle générale qui se dégage est que dans la dérivation d'une fonction composée, il faut toujours multiplier par la dérivée de la fonction interne. La définition formelle de la dérivée d'une fonction composée est la suivante : soit u et v deux fonctions dérivables, alors la dérivée de v composée avec u est égale à la dérivée de v appliquée à u, multipliée par la dérivée de u. Une conséquence intéressante de cette règle est que si v et u ont la même monotonie, c'est-à-dire qu'elles sont soit croissantes, soit décroissantes, alors la fonction composée v composée avec u est croissante. En revanche, si v et u ont des monotonies opposées, alors la fonction composée est décroissante. En conclusion, la dérivation d'une fonction composée requiert de multiplier par la dérivée de la fonction interne. Il est important de ne pas oublier ce facteur lors de la dérivation. Vous pouvez vous entraîner avec les vidéos de méthodes pour bien comprendre cette partie du cours.