Simplifier des expressions

Bienvenue dans le monde du logarithme ! Dans ce cours, nous allons explorer les propriétés importantes pour résoudre des inéquations avec l'exponentiel et le logarithme. Nous allons les aborder une par une et les résoudre. Pour la première propriété, nous commençons par une équation assez simple : ln(x) = 2. Il est important de noter que lorsqu'on compose avec l'exponentiel ou le logarithme, qui sont des fonctions croissantes, cela joue un rôle important pour les inégalités. Lorsque nous compons avec ln, nous devons vérifier que nous avons bien quelque chose de strictement positif, car la fonction ln est définie uniquement sur l'ensemble des réels positifs. En composant avec l'exponentiel, il n'y a jamais de problème. Donc, ln(x) composé avec e de ln(x) donne x, et e de 2 donne e^2. Ainsi, nous trouvons que la solution est x = e^2. Ensuite, pour la deuxième équation : e^x + 1 = 5. Nous composons avec le logarithme, et comme e^x + 1 est toujours positif et que 5 est strictement positif aussi, nous pouvons composer avec le logarithme entre les deux. Par conséquent, cela donne x + 1 = ln(5), et nous trouvons immédiatement que x = ln(5) - 1. Pour la troisième équation : 3ln(x) - 4 = 8. Nous devons faire attention à l'ensemble de définition de l'équation, qui est R*+ (l'ensemble des réels strictement positifs). Notre objectif est d'isoler ln(x) et de composer avec l'exponentiel à la fin. Donc nous avons ln(x) = 4/3, et en composant avec l'exponentiel, nous obtenons x = e^(4/3). Maintenant, passons aux inéquations. La première : ln(6x - 1) > 2. Nous devons premièrement vérifier que l'inéquation est bien définie, dans ce cas-ci pour les valeurs de x supérieures à 1/6. Nous composons avec l'exponentiel, et cela donne 6x - 1 = e^2. Ainsi, nous trouvons que x doit être supérieur à e^2 + 1/6. Il est important de vérifier que cela ne contredit pas l'hypothèse initiale. Dans ce cas-ci, évidemment il est plus grand que 1/6 car e^2 est positif. La deuxième inéquation : e^x + 5 > 4e^x. Il y a des exponentielles de x à deux endroits, il ne faut donc pas composer avec le logarithme tout de suite. Nous essayons de rassembler les exponentielles ensemble. Donc nous avons 5 > 3e^x, c'est-à-dire e^x < 5/3. En composant avec la fonction ln, qui est strictement croissante sur R*+, nous obtenons x < ln(5/3). Ainsi, notre solution est que x est inférieur à ln(5/3). Pour la troisième inéquation : ln(x - 3) + ln(9 - x) > 0. Nous pouvons rassembler les ln, donc cela donne ln((x - 3)(9 - x)) > 0. En composant avec l'exponentiel, nous obtenons (x - 3)(9 - x) > 1. C'est une équation quadratique classique, et nous trouvons que les solutions sont x = 6 + sqrt(8) et x = 6 - sqrt(8). Cependant, il faut vérifier si ces solutions conviennent, car l'équation n'est pas définie sur R tout entier. Il faut que x soit supérieur à 3 et que 9 - x soit supérieur à 0. Donc, les solutions x = 6 + sqrt(8) et x = 6 - sqrt(8) sont valides car elles appartiennent à l'intervalle 3, 9. Enfin, pour la dernière équation : ln(3 - x) - ln(x + 1) < 0. Nous commençons par déterminer l'intervalle de définition de l'inéquation, qui est -1 < x < 3. Nous utilisons la propriété ln(a) - ln(b) = ln(a/b), et cela donne ln((3 - x)/(x + 1)) < 0. Nous isolons les termes contenant x, ce qui donne 3 - x > x + 1, et donc x > 2. Ainsi, la solution est que x doit être supérieur à 2 lorsque nous intersectionnons cet intervalle avec l'intervalle initial, nous trouvons la solution 2,3. En résumé, lors de la résolution d'inéquations ou d'équations avec l'exponentiel et le logarithme, il est important de toujours vérifier l'ensemble de définition à la base. Il faut également rassembler au maximum les termes en exponentiel ou en ln, et composer avec la fonction réciproque uniquement à la fin. Il est également crucial de ne pas oublier de prendre en compte les signes lorsqu'on divise ou multiplie par quelque chose dont le signe n'est pas clair.