Introduction à la récurrence

Dans cette vidéo, le cours introduit le principe de la méthode de démonstration par récurrence. Cette méthode s'applique aux propriétés qui dépendent de n, ce qui justifie sa place dans le chapitre des suites. L'auteur remarque que les étudiants réussissent souvent à l'appliquer sans difficulté, mais sans véritable compréhension du pourquoi cela fonctionne. Il prend l'exemple de la formule de la somme des n entiers consécutifs pour expliquer le processus de démonstration par récurrence. La démonstration par récurrence ne permet pas de trouver une formule, mais plutôt de démontrer une formule dont on a déjà une intuition. Il est souvent nécessaire de faire des calculs pour certains n afin de comprendre comment la propriété dépend de n. Une fois que l'intuition est claire, il est possible de démontrer la formule par récurrence. La méthode consiste à montrer que si la propriété est vraie à un certain n, alors elle est également vraie au n+1. Si cette transmission de propriété est établie, il n'est pas nécessaire de prouver la formule pour tous les n individuellement. Cependant, il est important d'avoir une initialisation, c'est-à-dire un cas de base où la propriété est vraie (par exemple, pour n=0) et de pouvoir prouver que cette initialisation implique la véracité de la propriété pour n+1 et les n suivants. Le cours souligne également que la méthode de récurrence peut s'appliquer à d'autres problèmes, tels que la démonstration de l'inégalité de Bernoulli. Il offre également trois exemples d'application de la récurrence, notamment dans le domaine des suites et pour la démonstration de formules générales. En résumé, ce cours introduit le principe de la méthode de démonstration par récurrence, explique comment elle fonctionne et donne des exemples d'application. Il souligne l'importance de l'initialisation et de la transmission de la propriété d'un rang à l'autre.