Courbe et Tangentes

Nous allons étudier la fonction logarithme et trouver l'équation de sa tangente au point d'abscisse 1. La fonction ln est dérivable sur R+, avec une dérivée égale à 1/x. En évaluant en x=1, la dérivée est égale à 1. L'équation de la tangente est donc y = x - 1. La courbe de la fonction est concave, ce qui signifie qu'elle est en dessous de toutes ses tangentes. Graphiquement, on peut observer que la courbe est en dessous de la tangente. Une autre méthode consiste à étudier la fonction auxiliaire g(x) = ln(x) - x + 1. En étudiant ses variations, on trouve que g(x) est inférieur à 0 pour tout x. Cette méthode est un peu plus longue mais permet également de montrer que la courbe est en dessous de la tangente. En résumé, la fonction logarithme a pour tangente au point d'abscisse 1 l'équation y = x - 1. Il est important de reconnaître cette tangente connue dans les exercices.