A- Théorème de Darboux

Le théorème de Darboux affirme que si une fonction f est continue et dérivable sur un intervalle i, alors l'ensemble des taux d'accroissement de f entre deux points de i est un intervalle. Dans cette vidéo, nous allons démontrer ce théorème. Tout d'abord, nous définissons l'ensemble des taux d'accroissement de f entre deux points de i. Cet ensemble représente toutes les valeurs possibles des cordes entre deux points de la fonction. Nous examinerons différents cas pour caractériser les taux de f : si f est injective, croissante, monotone ou elliptique. Si f est injective, cela signifie que pour x différent de y, f(x) est différent de f(y). Par conséquent, f'(x) ne peut pas être égal à f'(y), donc 0 n'appartient pas à l'ensemble des valeurs possibles des taux de f. Si f est croissante, cela signifie que pour x plus petit que y, f(x) est plus petit que f(y). Dans ce cas, les taux d'accroissement seront positifs ou nuls, donc l'ensemble des taux de f est inclus dans les nombres réels positifs. Si f est strictement croissante, les taux d'accroissement ne peuvent pas être nuls, donc l'ensemble des taux de f est également inclus dans les nombres réels positifs. Si f est Lipschitzienne avec une constante k, cela signifie que |f(x) - f(y)| est inférieur à k|x - y|. Dans ce cas, les taux d'accroissement sont compris entre -k et k, ce qui limite les valeurs possibles. Ensuite, nous analysons une expression donnée et nous devons démontrer qu'elle est strictement positive. En utilisant la formule du barycentre, nous montrons que cette expression ne peut pas s'annuler, car elle est formée par des points strictement positifs et des coefficients positifs. Par conséquent, cette expression est toujours supérieure à zéro. Cette propriété nous permet de travailler avec une fonction qui est en réalité un taux d'accroissement entre deux points. Nous pouvons alors appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer que l'ensemble des valeurs prises par le taux de f est inclus dans l'ensemble des valeurs possibles de θ, où θ est une fonction définie sur l'intervalle 0,1. En utilisant la continuité de f et le fait que les coefficients des barycentres sont compris entre 0 et 1, nous montrons que l'ensemble des taux de f contient le segment d'extrémité f(y) - f(x) / y - x, ainsi que f(y') - f(x') / y' - x'. Par conséquent, l'ensemble des taux de f est un intervalle. Ce résumé SEO friendly du cours explique la démonstration du théorème de Darboux qui affirme que l'ensemble des taux d'accroissement d'une fonction continue et dérivable sur un intervalle est un intervalle.