Formule de Taylor Lagrange

Dans ce cours, nous allons étudier le concept de point fixe en mathématiques. Un point fixe est une solution de l'équation f(x) = x, où f est une fonction dérivable sur un intervalle ab. Pour qu'un point fixe existe et soit unique, il faut que la dérivée de f soit inférieure en valeur absolue à une constante k appartenant à (0,1). Pour prouver l'existence d'un point fixe, nous utilisons un résultat classique en mathématiques. Nous posons g(x) = f(x) - x et nous montrons que g(a) > 0 et g(b) < 0, où a et b sont les bornes de l'intervalle ab. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, nous concluons qu'il existe au moins un point fixe gamma tel que g(gamma) = 0. Ensuite, nous démontrons l'unicité du point fixe. Supposons qu'il existe deux points fixes gamma1 et gamma2 distincts. En utilisant le théorème des inégalités des accroissements finis, nous montrons que la différence entre gamma1 et gamma2 est strictement inférieure à gamma1 - gamma2, ce qui est impossible. Donc, nous concluons que gamma1 = gamma2, c'est-à-dire qu'il n'existe qu'un seul point fixe. Enfin, nous étudions la convergence vers le point fixe. Nous considérons une suite u(n) définie par récurrence, avec u(0) dans l'intervalle ab, et nous montrons que |u(n) - gamma| est inférieure à k^n |u(0) - gamma|. Puisque k est strictement inférieur à 1 en valeur absolue, la suite u(n) converge vers le point fixe gamma. Pour mieux comprendre le caractère attractif du point fixe, nous utilisons des graphiques. Si la pente de la fonction f est inférieure à 1 sur tout l'intervalle ab, alors la suite u(n) converge rapidement vers le point fixe. Si la pente est supérieure à 1, la suite fuirait plutôt le point fixe. En conclusion, le théorème du point fixe est un résultat classique en mathématiques et peut être utilisé pour résoudre des exercices et des problèmes. Il permet de démontrer l'existence, l'unicité et la convergence des points fixes d'une fonction dérivable.