Neutre et inverse

Dans cette vidéo, Corentin explique ce qu'est un groupe dans le contexte d'un ensemble E muni d'une loi interne associative et ayant un élément neutre à gauche. Il explique que pour prouver que E est un groupe, il faut également montrer que cet élément neutre à gauche est aussi un élément neutre à droite et que chaque élément possède un inverse à gauche et à droite. Il commence par montrer que l'associativité et l'internalité de la loi étoile sont données dans l'énoncé. Ensuite, il utilise des inverses à gauche respectifs pour montrer que si yx est égal à E, alors xy est aussi égal à E. Ensuite, il démontre que l'élément neutre à gauche est unique en supposant l'existence d'un autre élément neutre à gauche F, mais montre ensuite que F est égal à E. Enfin, il démontre que l'élément neutre à gauche est aussi un élément neutre à droite en utilisant l'associativité et le fait que l'inverse à gauche est aussi l'inverse à droite. Il conclut en réaffirmant que toutes les hypothèses sont réunies pour montrer que E est bien un groupe.