Combinaison et intersection

Dans ce cours, nous abordons l'utilisation des combinaisons avec les intersections. Nous prenons l'exemple de 20 élèves, parmi lesquels 14 aiment les maths, 7 aiment la physique et 4 aiment à la fois les maths et la physique. Pour mieux comprendre, nous utilisons un diagramme où 10 élèves aiment les maths, 4 aiment à la fois les maths et la physique, et 3 n'aiment que la physique. En déduisant cela, nous constatons qu'il y a 3 élèves qui n'aiment ni les maths ni la physique. Ensuite, nous nous intéressons aux sous-groupes d'élèves et nous cherchons combien de sous-groupes de 4 élèves peuvent être formés parmi les 14 élèves qui aiment les maths. Comme il n'y a pas d'ordre et pas de répétition, il s'agit de combinaisons. La formule à utiliser est donc "14 parmi 4", ce qui donne 14! / (4! * 10!). Si nous simplifions cette expression en supprimant les termes communs, nous obtenons 14 * 13 * 12 * 11 / (4 * 3 * 2). Ce qui équivaut à 1001. Ensuite, nous nous demandons combien de sous-groupes de 4 élèves ont exactement 2 élèves qui n'aiment que les maths et 2 élèves qui n'aiment que la physique. Pour cela, nous divisons le sous-groupe en deux parties, l'une avec les élèves qui n'aiment que les maths (10 élèves) et l'autre avec ceux qui n'aiment que la physique (3 élèves). Nous cherchons donc "2 parmi 10" et "2 parmi 3". En simplifiant ces expressions, nous obtenons 2 * 9 / 2 et 3. Le total est donc de 135 possibilités. Ainsi, nous avons vu comment combiner les notions de combinaisons et d'intersections pour résoudre des problèmes décombinatoires.