Suites - Asie 2022

Dans cet exercice, nous nous intéressons au développement d'une bactérie et nous utilisons certaines hypothèses pour modéliser ce développement. La probabilité que la bactérie meure sans descendance est de 0,3, tandis que la probabilité qu'elle se divise en deux bactéries est de 0,7. Nous définissons Pn comme la probabilité d'obtenir au moins n descendants pour une bactérie. La relation de récurrence est donnée par Pn+1 = 0,3 + 0,7Pn². Nous devons calculer les valeurs exactes de P1 et P2. Nous utilisons simplement la formule pour calculer P1 = 0,363 et P2 = 0,3922383. En interprétant ces valeurs, nous concluons que la bactérie a plus de chances d'avoir au moins 1 ou 2 descendants que de ne pas se reproduire. Ensuite, nous devons trouver la probabilité d'obtenir au moins 11 générations de bactéries à partir d'une bactérie de ce type. Nous utilisons la formule 1 - P10 pour obtenir une probabilité d'environ 0,571. En analysant le tableau des valeurs, nous formulons des conjectures sur les variations et la convergence de la suite Pn. Il semble que la suite soit croissante et converge vers une limite d'environ 0,428. Nous prouvons ensuite par récurrence que pour tout entier naturel n, Pn est plus petit que Pn+1 et les deux valeurs sont comprises entre 0 et 0,5. Pour justifier que la suite est convergente, nous utilisons l'inégalité donnée dans l'énoncé qui montre que Pn est plus petit que Pn+1. Nous déterminons ensuite la limite de la suite en résolvant une équation du second degré. Nous trouvons que la limite est 3/7, soit environ 0,430. Enfin, nous complétons une fonction en langage Python qui renvoie les n premiers termes de la suite. Nous utilisons une boucle for pour remplir un tableau avec les valeurs calculées et nous renvoyons ce tableau à la fin. C'est ainsi que se termine cet exercice d'algorithmique et de programmation sur les suites en utilisant des probabilités.