Équation différentielle

Dans cette vidéo, on étudie l'établissement d'une équation différentielle à partir d'un système capacitif. On part d'un condensateur déchargé qui est placé en série avec une résistance. L'interrupteur est fermé à t=0 et on utilise la loi des mailles pour établir une relation entre les tensions UC, UR et UE. On repère dans le schéma un générateur de tension qui impose une tension E à travers le circuit, une résistance R avec une tension UR et un condensateur avec une tension UC. En utilisant la loi des mailles, on fait un tour dans le circuit en comptant les tensions dans le sens dans lequel elles arrivent. On obtient ainsi l'équation UC + UR = E. Ensuite, on remplace la tension UR en utilisant la loi de Ohm, qui dit que la tension aux bornes d'une résistance est égale à R fois le courant. On obtient donc UR = R * I, où I est le courant qui passe à travers la résistance. On substitue cette expression dans l'équation précédente, ce qui donne UC + R * I = E. On nous dit que I = C * (dUC/dt), où C est la capacité du condensateur et dUC/dt est la dérivée temporelle de la tension UC. On remplace I par cette expression et on obtient UC + RC * (dUC/dt) = E. Finalement, on a une équation différentielle vérifiée par la tension UC, qui est la dérivée temporelle de UC plus RC fois UC égal à une constante, E/RC. Cette équation différentielle peut être résolue ensuite. En conclusion, cet exercice met en évidence comment établir une équation différentielle à partir d'un système capacitif en appliquant la loi des mailles et en utilisant des variations telles que la loi de Ohm. C'est une compétence fondamentale en électrotechnique.