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Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
Binoˆme de Newton 1. Soit (x,y) dans R2 et n unentier naturel.Montrer par reˊcurrence que(x+y)n=∑k=0n(nk)xkyn−k 2. Soit a dans R+.Deˊmontrer avec la formule preˊ-ceˊdente l’ineˊgaliteˊ de Bernoulli. En deˊduire que pour tout α>1la suite(αn)n∈N tend vers +∞\text{Binôme de Newton}\\ \ \\1.\text{ Soit }(x,y)\text{ dans }\R^2\text{ et }n\text{ un}\\\text{entier naturel.}\\\text{Montrer par récurrence que}\\ (x+y)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k y^{n-k}\\ \ \\2.\text{ Soit a dans }\R^+.\\\text{Démontrer avec la formule pré-}\\\text{cédente l'inégalité de Bernoulli.}\\ \ \\\text{En déduire que pour tout }\alpha>1\\\text{la suite}(\alpha^n)_{n\in\N}\text{ tend vers }+\infty
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
Soit (un) la suite deˊfinie pourn∈N par :u0=1un+1=3un−2n+1 1. Calculer u1,u2 et u3. 2. Deˊmontrer, par reˊcurrence, quepour tout entier naturel n, on a :un⩾n+1 Cette suite (un) est-elleconvergente ? 3. Deˊmontrer que la suite (un) estcroissante. 4. Deˊmontrer que, pour tout entiernaturel n, on a :un=3n+n Retrouver ainsi la valeur de u10\text{Soit }(u_{n})\text{ la suite définie pour}\\n\in\N\text{ par :}\\u_{0}=1\\u_{n+1}=3 u_{n}-2 n+1\\ \ \\1.\text{ Calculer }u_{1},u_{2}\text{ et }u_{3}.\\ \ \\2.\text{ Démontrer, par récurrence, que}\\\text{pour tout entier naturel }n\text{, on a :}\\u_{n}\geqslant n+1\\ \ \\\text{Cette suite }(u_{n})\text{ est-elle}\\\text{convergente ?}\\ \ \\3.\text{ Démontrer que la suite }(u_{n})\text{ est}\\\text{croissante.}\\ \ \\4.\text{ Démontrer que, pour tout entier}\\\text{naturel }n\text{, on a :}\\u_{n}=3^{n}+n\\ \ \\\text{Retrouver ainsi la valeur de }u_{10}
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 2
Pour chaque suite, calculer lespremiers termes, conjecturer lesens de variation puis le deˊmon-trer par reˊcurrence. .(un) est la suite deˊfinie par u0=10et, pour tout entier naturel n,un+1=12un+1. .(un) est la suite deˊfinie par u0=−5et, pour tout entier naturel n,un+1=12un+1. .(un) est la suite deˊfinie par u0=1et, pour tout entier naturel n,un+1=2un+4\text{Pour chaque suite, calculer les}\\\text{premiers termes, conjecturer le}\\\text{sens de variation puis le démon-}\\\text{trer par récurrence.}\\ \ \\.(u_n)\text{ est la suite définie par }u_0=10\\\text{et, pour tout entier naturel }n,\\u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+1.\\ \ \\.(u_n)\text{ est la suite définie par }u_0=-5\\\text{et, pour tout entier naturel }n,\\u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+1.\\ \ \\.(u_n)\text{ est la suite définie par }u_0=1\\\text{et, pour tout entier naturel }n,\\u_{n+1}=2u_n+4
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Soit (un) une suite deˊfinie par u0=1et un+1=2+un pour tout n∈N. Deˊmontrer que, pour tout n∈N,0<un<2.\text{Soit }(u_n)\text{ une suite définie par }u_0=1\\\text{et }u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}.\\ \ \\\text{Démontrer que, pour tout }n\in\mathbb{N},\\ 0 < u_n < 2.
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Deˊmontrer par reˊcurrence quepour tout entier n⩾1, on a : Sn=∑k=1nk2=12+22+…+n2 =n(n+1)(2n+1)6\text{Démontrer par récurrence que}\\\text{pour tout entier }n\geqslant 1\text{, on a :}\\ \ \\S_n=\sum\limits_{k=1}^n k^2=1^2+2^2+\ldots+n^2\\ \ \\=\Large\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
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