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Soit f deˊfinie pour x>1 :f(x)=3x+2x+1 1)a) Justifier que f est continue.      b) Reˊsoudre f(x)=x      c) Montrer que f est croissante 2) On deˊfinit (un)n telle queu0=0.5et pour tout n,  un+1=f(un)      a) Par reˊcurrence montrer que      n,    0unun+1<3      b) En deˊduire la convergence      de la suite et sa limite !\text{Soit }f\text{ définie pour }x>-1\text{ :}\\f(x)=\large\frac{3x+2}{x+1}\normalsize\\ \ \\1)a)\text{ Justifier que }f\text{ est continue.}\\\;\;\;b)\text{ Résoudre }f(x)=x\\\;\;\;c)\text{ Montrer que }f\text{ est croissante}\\ \ \\2)\text{ On définit }(u_n)_n\text{ telle que}\\u_0=-0.5\\\text{et pour tout }n,\;u_{n+1}=f(u_n)\\\;\;\;a)\text{ Par récurrence montrer que}\\\;\;\;\forall n,\;\;0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}<3\\\;\;\;b)\text{ En déduire la convergence}\\\;\;\;\text{de la suite et sa limite !}
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Soit f deˊfinie sur R :f(x)=x2x+1 si x1 etf(x)=14x2+x+14 si x>1 1) Justifier que f est continuesur R. 2)a) Tracer la fonction f.      b) Pourquoi semble-t-elle      deˊrivable ? 3)a) Calculer les deˊriveˊes des      deux fonctions :      xx2x+1      et      x14x2+x+14      b) Calculer leurs nombres      deˊriveˊs en 1, conclure.\text{Soit }f\text{ définie sur }\R\text{ :}\\f(x)=\sqrt{x^2-x+1}\text{ si }x\leqslant1\\\text{ et}\\f(x)=-\frac{1}{4}x^2+x+\frac{1}{4}\text{ si }x>1\\ \ \\1)\text{ Justifier que }f\text{ est continue}\\\text{sur }\R.\\ \ \\2)a)\text{ Tracer la fonction }f.\\\;\;\;b)\text{ Pourquoi semble-t-elle}\\\;\;\;\text{dérivable ?}\\ \ \\3)a)\text{ Calculer les dérivées des}\\\;\;\;\text{deux fonctions :}\\\;\;\;x\to\sqrt{x^2-x+1}\\\;\;\;\text{et}\\\;\;\;x\to-\frac{1}{4}x^2+x+\frac{1}{4}\\\;\;\;b)\text{ Calculer leurs nombres}\\\;\;\;\text{dérivés en 1, conclure.}
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On consideˋre la fonction f deˊfiniesur R par f(x)=2x33x22x+3 1. Eˊtudier les limites de f en et en +2. Dresser le tableau de variationscomplet de la fonction f3. Montrer que l’eˊquation f(x)=0 n’admetaucune solution sur l’intervalle [12;+[4. En deˊduire que l’eˊquation f(x)=0 admetunique solution α sur R5. Fournir un encadrement au centieˋmede α.\text{On considère la fonction }f\text{ définie}\\\text{sur }\mathbf{R}\text{ par }f(x)=\frac{2 x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-x+3\\ \ \\\text{1. Étudier les limites de }f\text{ en }-\infty\\\text{et en }+\infty\\\text{2. Dresser le tableau de variations}\\\text{complet de la fonction }f\\\text{3. Montrer que l'équation }f(x)=0\text{ n'admet}\\\text{aucune solution sur l'intervalle }\left[-\frac{1}{2} ;+\infty[\right.\\\text{4. En déduire que l'équation }f(x)=0\text{ admet}\\\text{unique solution }\alpha\text{ sur }\mathbf{R}\\\text{5. Fournir un encadrement au centième}\\\text{de }\alpha.
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On considère la fonction ff définie sur [0;+[[0 ;+\infty[ par f(x)=9x+(152x)xf(x)=9 x+(15-2 x) \sqrt{x} et la fonction gg définie également sur [0;+[ [0 ;+\infty[ par g(x)=18x6x+15g(x)=18 \sqrt{x}-6 x+15
1. Dresser le tableau de variations complet de la fonction gg
2. Démontrer, sans la résoudre, que l'équation g(x)=0g(x)=0 admet une unique solution sur [0;+[[0 ;+\infty[ que l'on notera α\alpha
3. Fournir un encadrement au centième de α\alpha
4. En déduire le signe de g(x)g(x) pour tout x[0;+[x \in[0 ;+\infty[
5. Démontrer que, pour tout x]0;+[x \in ]0 ;+\infty[ on a f(x)=g(x)2xf^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{2 \sqrt{x}}
6. En déduire le tableau de variations complet de ff
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Eˊtudier, dans chaque cas, la continuiteˊ de la fonction f sur l’intervalle I.a)  I=[1;3];{f(x)=x1 si x[1;2]f(x)=2x+7 si x]2;3].b)  I=[0;3];{f(x)=x2x+1 si x[0;1]f(x)=2x1x si x[1;3].\text{Étudier, dans chaque cas, la continuité }\\\text{de la fonction }f\text{ sur l'intervalle I.}\\\text{a) }\\\ I=[1 ; 3] ;\left\{\begin{array}{l}f(x)=x-1 \text { si } x \in[1 ; 2] \\ f(x)=-2 x+7 \text { si } x \in] 2 ; 3] .\end{array}\right.\\\text{b) }\\\ I=[0 ; 3] ;\left\{\begin{array}{l}f(x)=x^2-x+1 \text { si } x \in[0 ; 1] \\ f(x)=\frac{2 x-1}{x} \quad \text { si } x \in[1 ; 3] .\end{array}\right.
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\text{On considère la fonction }f\text{ définie}\\\text{sur }\left[3 ;+\infty\left[\right.\right.\text{ par }f(x)=x^2 \sqrt{x-3}\\ \ \\\text{1) Justifier que }f\text{ est continue sur }\\ [3 ;+\infty[\text{ et, sans calculer sa dérivée, }\\\text{démontrer que }f\text{ est strictement}\\\text{monotone sur }[3 ;+\infty[\\\text{2) Déterminer l'image par }f\text{ de }\\\text{l'intervalle }[3 ;+\infty[\\\text{3) Démontrer que l'équation }\sqrt{x-3}=\frac{4}{x^2}\\\text{possède une unique solution réelle.}\\\text{Donner une valeur approchée à }10^{-2}\\\text{près de cette solution.}
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1) Soit g la fonction deˊfinie sur R par : g(x)=2x3+6x2+1 a) Dresser le tableau des variationsde gb) Deˊmontrer que g(x)=0 admetune unique solution α dans RDonner un encadrement de αd’amplitude 101.c) En deˊduire le signe de g(x) sur R.\text{1) Soit }g\text{ la fonction définie sur }\\ \mathbf{R}\text{ par : }g(x)=2 x^3+6 x^2+1\\ \ \\\text{a) Dresser le tableau des variations}\\\text{de }g\\\text{b) Démontrer que }g(x)=0\text{ admet}\\\text{une unique solution }\alpha\text{ dans }\mathbf{R}\\\text{Donner un encadrement de }\alpha\\\text{d'amplitude }10^{-1}.\\\text{c) En déduire le signe de }g(x)\text{ sur }\mathbf{R}.
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Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2f(x)=x^2 si x0x \leqslant 0 et x+bx+b si x>0x>0. Pour quelle valeur de bb, ff est-elle continue en 00 ?
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Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :f(x)=x1+xf(x)=\large\frac{x}{1+|x|}.
\quad. Justifier que la fonction ff est continue sur R\mathbb{R}.
\quad. a) Tracer la fonction ff sur une calculatrice pour x[4;4]x \in[-4 ; 4] et y[2;2]y \in[-2 ; 2]. b) Pourquoi la fonction semble-t-elle dérivable sur R\mathbb{R} ? c) Déterminer l'expression de ff suivant le signe de xx. d) Justifier que la fonction ff est dérivable sur R\{0}\mathbb{R} \backslash\{0\}. e) Calculer les nombres dérivés en 00 . Conclure.
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