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MPSI/PCSI
Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
f est la fonction deˊfinie sur ]1;+∞[par f(x)=x−1x3 Deˊmontrer rigoureusement que fest deˊrivable sur ]1;+∞[ et calculerpour tout x de ]1;+∞[,f′(x)
Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
On consideˋre a fonction f deˊfiniepar f(x)=x+x2−1et on note Cf sa courbe repreˊsentativedans un repeˋre orthogonal (O,i,j) 1. Quel est l’ensemble de deˊfinition Dfde la fonction f ?2. Montrer que, pour toutx∈Df,f(−x)f(x)=−13. Deˊterminer la limite de f en −∞4. Deˊterminer le tableau de variations de la fonction f
Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
On deˊsigne par g la fonction deˊfinie sur]−1;1[ par {g(0)=0g′(x)=1−x21ouˋ g′ deˊsigne la deˊriveˊe de la fonction gsur ]−1;1[On ne cherchera pas aˋ expliciter gOn consideˋre alors la fonction composeˊe hdeˊfinie sur ]−π;0[ par h(x)=g(cosx) 1. Deˊmontrer que pour tout reˊel x de ]−π;0[on a h′(x)=1 ouˋ h′ deˊsigne la deˊriveˊe de h2. Calculer h(−2π)puis donner l’expression de h(x)
Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Consideˊrons la fonction f deˊfinie sur R par :f(x)=x2sin(x1),x=0 et f(0)=0 Montrer que:1. f est continue en 0 .2. f est deˊrivable en 0 .3. f′ n’est pas continue en 0 .
Maths Spé
Analyse
Difficulté 5
Soient a et b deux nombres reˊels.Deˊmontrer qu’il existe deux reˊels R et θtels que pour tout x de R :acosx+bsinx=Rcos(x−θ)
Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Soit f une fonction continue etdeˊfinie sur l’intervalle [0;1] et aˋ valeurs dans l’intervalle [0;1]Deˊmontrer que fadmet (au moins) un point fixe dans [0;1]