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Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
f est la fonction deˊfinie sur ]1;+∞[par f(x)=x3x−1 Deˊmontrer rigoureusement que fest deˊrivable sur ]1;+∞[ et calculerpour tout x de ]1;+∞[,f′(x)f\text{ est la fonction définie sur }]1 ;+\infty\left[\right.\\\text{par }f(x)=\sqrt{\frac{x^3}{x-1}}\\ \ \\\text{Démontrer rigoureusement que }f\\\text{est dérivable sur }]1 ;+\infty[\text{ et calculer}\\\text{pour tout }x \text{ de }] 1 ;+\infty\left[, f^{\prime}(x)\right.
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
On consideˋre a fonction f deˊfiniepar f(x)=x+x2−1et on note Cf sa courbe repreˊsentativedans un repeˋre orthogonal (O,i⃗,j⃗) 1. Quel est l’ensemble de deˊfinition Dfde la fonction f ?2. Montrer que, pour toutx∈Df,f(−x)f(x)=−13. Deˊterminer la limite de f en −∞4. Deˊterminer le tableau de variations de la fonction f\text{On considère a fonction }f\text{ définie}\\\text{par }{f(x)=x+\sqrt{x^2-1}}\\\text{et on note }\mathcal{C}_f\text{ sa courbe représentative}\\\text{dans un repère orthogonal }(O, \vec{i}, \vec{j})\\ \ \\\text{1. Quel est l'ensemble de définition }\mathcal{D}_f\\\text{de la fonction }f\text{ ?}\\\text{2. Montrer que, pour tout}\\x \in \mathcal{D}_f, f(-x) f(x)=-1\\\text{3. Déterminer la limite de }f\text{ en }-\infty\\\text{4. Déterminer le tableau de variations }\\\text{de la fonction }f
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
On deˊsigne par g la fonction deˊfinie sur]−1;1[ par {g(0)=0g′(x)=11−x2ouˋ g′ deˊsigne la deˊriveˊe de la fonction gsur ]−1;1[On ne cherchera pas aˋ expliciter gOn consideˋre alors la fonction composeˊe hdeˊfinie sur ]−π;0[ par h(x)=g(cos⁡x) 1. Deˊmontrer que pour tout reˊel x de ]−π;0[on a h′(x)=1 ouˋ h′ deˊsigne la deˊriveˊe de h2. Calculer h(−π2)puis donner l’expression de h(x)\text{On désigne par }g\text{ la fonction définie sur}\\]-1 ; 1[\text{ par }\left\{\begin{array}{l}g(0)=0 \\ g^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{array}\right.\\\text{où }g^{\prime}\text{ désigne la dérivée de la fonction }g\\\text{sur }]-1 ; 1[\\\text{On ne cherchera pas à expliciter }g\\\text{On considère alors la fonction composée }h\\\text{définie sur }]-\pi ; 0[\text{ par }h(x)=g(\cos x)\\ \ \\\text{1. Démontrer que pour tout réel }x\text{ de } ]-\pi ; 0\left[\right.\\\text{on a }h^{\prime}(x)=1\text{ où }h^{\prime}\text{ désigne la dérivée de }h\\\text{2. Calculer }h\left(-\frac{\pi}{2}\right)\\\text{puis donner l'expression de }h(x)
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Consideˊrons la fonction f deˊfinie sur R par :f(x)=x2sin⁡(1x),x≠0 et f(0)=0 Montrer que:1. f est continue en 0 .2. f est deˊrivable en 0 .3. f′ n’est pas continue en 0 .\text{Considérons la fonction }f\text{ définie sur }\mathbf{R}\text{ par :}\\f(x)=x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right),x≠0 \text{ et }f(0)=0\\ \ \\\text{Montrer que:}\\\text{1. }f\text{ est continue en 0 .}\\\text{2. }f\text{ est dérivable en 0 .}\\\text{3. }f^{\prime}\text{ n'est pas continue en 0 .}
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 5
Soient a et b deux nombres reˊels.Deˊmontrer qu’il existe deux reˊels R et θtels que pour tout x de R :acos⁡x+bsin⁡x=Rcos⁡(x−θ)\text{Soient a et b deux nombres réels.}\\\text{Démontrer qu'il existe deux réels }R\text{ et }\theta\\\text{tels que pour tout }x\text{ de }\mathbf{R}\text{ :}\\a \cos x+b \sin x=R \cos (x-\theta)
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Soit f une fonction continue etdeˊfinie sur l’intervalle [0;1] et aˋ valeurs dans l’intervalle [0;1]Deˊmontrer que fadmet (au moins) un point fixe dans [0;1]\text{Soit }f\text{ une fonction continue et}\\\text{définie sur l'intervalle } [0 ; 1]\text{ et à valeurs }\\\text{dans l'intervalle }[0 ; 1]\\\text{Démontrer que }f\text{admet (au moins) }\\\text{un point fixe dans }[0 ; 1]
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