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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
On note D=R\{−1} et pour x∈D,f(x)=e−xx+1 1) On eˊcrit la deˊriveˊe seconde de fsous la forme suivante : f′′(x)=x2+ax+b(x+1)3e−xCombien valent a et b ?2) la fonction f est-elle convexe ? Concave ? Change de concaviteˊ ? 3) En eˊcrivant l’eˊquation reˊduite de la tangente en (0,f(0)), trouver une ineˊgaliteˊ faisant intervenir f(x) valable sur ]−1,+∞[\text{On note }\mathcal{D}=\mathbf{R} \backslash\{-1\}\text{ et pour }x \in \mathcal{D},\\ f(x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x+1}\\ \ \\\text{1) On écrit la dérivée seconde de }f\\\text{sous la forme suivante : }\\ f^{\prime \prime}(x)=\frac{x^2+a x+b}{(x+1)^3} \mathrm{e}^{-x}\\\text{Combien valent }a\text{ et }b\text{ ?}\\\text{2) la fonction }f\text{ est-elle convexe ? }\\\text{Concave ? Change de concavité ? }\\\text{3) En écrivant l'équation réduite de la }\\\text{tangente en }(0, f(0))\text{, trouver une inégalité }\\\text{faisant intervenir }f(x)\text{ valable sur }] -1,+\infty[
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
On consideˋre f:x↦(x+1)e−x2 1) Pour tout reˊel xf′′(x)=2Q(x)e−x2 avec Q(x)=a(x3+x2)−3x−1Combien vaut a ?2) On peut eˊcrire Q(x)=(x−1)(2x2+αx+β)Combien valent α et β ?3) Quel est le nombre de points d’inflexion du graphe de f ? On preˊcisera la/les abscisses(s) correspondantes. 4) Preˊciser l’eˊquation reˊduite de la tangenteau point d’abscisse 1\text{On considère }f: x \mapsto(x+1) \mathrm{e}^{-x^2}\\ \ \\\text{1) Pour tout réel }x\\ f^{\prime \prime}(x)=2 Q(x) \mathrm{e}^{-x^2}\text{ avec }\\ Q(x)=a\left(x^3+x^2\right)-3 x-1\\\text{Combien vaut }a\text{ ?}\\\text{2) On peut écrire }\\ Q(x)=(x-1)\left(2 x^2+\alpha x+\beta\right)\\\text{Combien valent }\alpha\text{ et }\beta\text{ ?}\\\text{3) Quel est le nombre de points d'inflexion }\\\text{du graphe de }f\text{ ? On précisera la/les }\\\text{abscisses(s) correspondantes. }\\\text{4) Préciser l'équation réduite de la tangente}\\\text{au point d'abscisse }1
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Soient la fonction f deˊfinie sur Rpar f(x)=2ex−1−x2−xet C sa coubre repreˊsentative.1. Calculer f′(x) et f′′(x)2. Eˊtudier la convexiteˊ de la fonction f3. Montrer que f admet un pointd’inflexion A et preˊciser les coordoneˊesde A.4. Quelle est l’eˊquation de la tangente aˋ C au point A ?En deˊduire que pour tout x≥1:ex−1≥12(x2+1)\text{Soient la fonction }f\text{ définie sur }\mathbf{R}\\\text{par }f(x)=2 e^{x-1}-x^2-x\\\text{et }\mathcal{C}\text{ sa coubre représentative.}\\\text{1. Calculer }f^{\prime}(x)\text{ et }f^{\prime \prime}(x)\\\text{2. Étudier la convexité de la fonction }f\\\text{3. Montrer que }f\text{ admet un point}\\\text{d'inflexion }A\text{ et préciser les coordonées}\\\text{de }A.\\\text{4. Quelle est l'équation de la tangente }\\\text{à }\mathcal{C}\text{ au point }A\text{ ?}\\\text{En déduire que pour tout }\\ x \geq 1: e^{x-1} \geq \frac{1}{2}\left(x^2+1\right)
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 2
1. Montrer que la fonction ff définie par f(x)=−xf(x)=-\sqrt{x} est convexe.\\ 2. Déterminer l'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 99.\\ 3. En déduire une inégalité.
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 2
On considère la fonction ff définie et deux fois dérivable sur R\mathbb{R} par : f(x)=7xe−xf(x)=7 x e^{-x}
\quad. Calculer f′(x)f^ \prime(x) et en déduire les variations de ff.
\quad. a) Calculer f′′(x)f^{\prime \prime}(x)\\ \quad. b) Étudier le signe de f′′(x)f^{\prime \prime}(x) et en déduire les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe représentative de la fonction ff.
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 2
En utilisant la convexité de la fonction exponentielle, montrer que, pour tout réel xx, 1+x⩽ex1+x \leqslant \mathrm{e}^x . Pour vous aider, déterminer l’équation de la tangente TT au point d’abscisse 00.
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
On considère la fonction ff deux fois dérivable sur R\{−1}\mathbb{R} \backslash\{-1\} définie par : f(x)=3−xx+1f(x)=\Large\frac{3-x}{x+1}.
\quad. Montrer que f′′(x)=8(x+1)3f^{\prime \prime}(x)=\Large\frac{8}{(x+1)^3}.
\quad. En déduire le plus grand intervalle sur lequel ff est convexe.
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