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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
1. Montrer que ∀(a,b)∈R+∗,ln(ab)=ln(a)+ln(b),ln(1a)=−ln(a),ln(ab)=ln(a)−ln(b). 2. Simplifier la sommeS=∑n=1100ln(nn+1).1.\text{ Montrer que }\forall (a,b)\in\mathbb{R}^*_+,\\ln(ab)=ln(a)+ln(b),\\ln(\frac{1}{a})=-ln(a),\\ln(\frac{a}{b})=ln(a)-ln(b).\\ \ \\2.\text{ Simplifier la somme}\\S=\sum\limits_{n=1}^{100}ln(\frac{n}{n+1}).
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Soit (un)la suite geˊomeˊtrique depremier terme u0=3 et de raison q=14 et (vn)la suite deˊfinie par vn=ln⁡(un),∀n∈N 1. Montrer que (vn)est une suitearithmeˊtique dont on donnera lepremier terme et la raison. 2. Soit Sn=v0+v1+…+vnTrouver la limite de (Sn) 3.(a) Soit Pn=u0×u1×…×unMontrer que eSn=Pn(b) En deˊduire la limite de lasuite (Pn)\text{Soit }\left(u_n\right)\text{la suite géométrique de}\\\text{premier terme }u_0=3\text{ et de raison }\\q=\frac{1}{4}\text{ et }\left(v_n\right)\text{la suite définie par }\\v_n=\ln \left(u_n\right), \forall n \in \mathbb{N}\\ \ \\\text{1. Montrer que }\left(v_n\right)\text{est une suite}\\\text{arithmétique dont on donnera le}\\\text{premier terme et la raison.}\\ \ \\\text{2. Soit }S_n=v_0+v_1+\ldots+v_n\\\text{Trouver la limite de }\left(S_n\right)\\ \ \\\text{3.(a) Soit }P_n=u_0 \times u_1 \times \ldots \times u_n\\\text{Montrer que }e^{S_n}=P_n\\\text{(b) En déduire la limite de la}\\\text{suite }\left(P_n\right)
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
On tire successivement, et avecremise, n boules d’une urne con-tenant 5 boules blanches et 25boules noires. Combien faut-il effectuer detirages pour que la probabiliteˊd’obtenir au moins 1 bouleblanche soit supeˊrieure aˋ 0,999 ?\text{On tire successivement, et avec}\\\text{remise, }n\text{ boules d'une urne con-}\\\text{tenant 5 boules blanches et 25}\\\text{boules noires.}\\ \ \\\text{Combien faut-il effectuer de}\\\text{tirages pour que la probabilité}\\\text{d'obtenir au moins 1 boule}\\\text{blanche soit supérieure à 0,999 ?}
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Dans chaque cas déterminer les entiers naturels nn tels que: a) (23)n<104\left(\frac{2}{3}\right)^n<10^4 b) (97)n⩾106\left(\frac{9}{7}\right)^n \geqslant 10^6 c) 1−(35)n⩾0,9991-\left(\frac{3}{5}\right)^n \geqslant 0,999 d) 0,004>(89)2n0,004>\left(\frac{8}{9}\right)^{2 n}
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 2
Simplifier l'écriture des expressions suivantes :
\quad. ln⁡(3e)\ln (3 e)
\quad. ln⁡e2\ln e^2
\quad. ln⁡(e)\ln (\sqrt{e})
\quad. ln⁡13+ln⁡35+ln⁡57+ln⁡79\ln \frac{1}{3}+\ln \frac{3}{5}+\ln \frac{5}{7}+\ln \frac{7}{9}
\quad. ln⁡((2+3)20)+ln⁡((2−3)20)\ln ((2+\sqrt{3})^{20})+\ln ((2-\sqrt{3})^{20})
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 2
Résoudre les équations proposées.
\quad. ln⁡3x=8\ln 3 x=8
\quad. ln⁡x2=1\ln x^2=1
\quad. ln⁡x3=2\ln \large\frac{x}{3}\normalsize=2
\quad. ln⁡(3x−2)=0\ln (3 x-2)=0
\quad. ln⁡(x2−3x+2)=ln⁡9\ln \left(x^2-3 x+2\right)=\ln 9
\quad. e3x+4=2\mathrm{e}^{3 x+4}=2
\quad. e−xln⁡4=5\mathrm{e}^{-x \ln 4}=5
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
1. Résoudre les équations suivantes.
a) ln⁡(3x−6)=ln⁡(4−x)\ln (3 x-6)=\ln (4-x)
b) ln⁡(2x)−ln⁡(x+1)=ln⁡(x−5)\ln (2 x)-\ln (x+1)=\ln (x-5)
2. Résoudre les inéquations suivantes.
a) ln⁡(4x−2)+ln⁡(5)<1−ln⁡2\ln (4 x-2)+\ln (5)<1-\ln 2
b) ln⁡(5−x)⩾ln⁡(x−1)\ln (5-x) \geqslant \ln (x-1)
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