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Maths Spé
Analyse
Difficulté 2
Soit la fonction g deˊfinie sur unintervalle I par g(x)=ln⁡(ax+b)avec a et b des reˊels. 1. Sachant que la courbe repreˊ-sentative Cg de la fontion g passepar le point A(0;1) et que lacourbe Cg admet une tangente aupoint d’abscisse 1 paralleˋle aˋ ladroite d:y=2x−1, en deˊduireles valeurs de a et b 2. Deˊterminer I et le sens de varia-tion de g sur I.\text{Soit la fonction }g\text{ définie sur un}\\\text{intervalle }I\text{ par }g(x)=\ln(ax+b)\\\text{avec }a\text{ et }b\text{ des réels.}\\ \ \\\text{1. Sachant que la courbe repré-}\\\text{sentative }\mathscr{C}_g\text{ de la fontion }g\text{ passe}\\\text{par le point }A(0;1)\text{ et que la}\\\text{courbe }\mathscr{C}_g\text{ admet une }\text{tangente au}\\\text{point}\text{ d'abscisse 1 }\text{parallèle à la}\\\text{droite }d: y=2 x-1\text{, }\text{en déduire}\\\text{les valeurs de }a\text{ et }b\\ \ \\\text{2. Déterminer }I\text{ et le sens de varia-}\\\text{tion de }g\text{ sur }I.
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 2
Soit a∈R,n∈N∗ avec n>−aOn pose un=(1+an)n 1. Montrer que la suite (ln⁡(un))n∈Nest bien deˊfinie. 2. Calculer lim⁡n→+∞ln⁡(un) 3. En deˊduire que, ∀x∈R,ex=lim⁡n→+∞(1+xn)n\text{Soit }a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}^*\text{ avec }n>-a\\\text{On pose }u_n=\left(1+\frac{a}{n}\right)^n\\ \ \\\text{1. Montrer que la suite }\left(\ln \left(u_n\right)\right)_{n \in \mathbb{N}}\\\text{est bien définie.}\\ \ \\\text{2. Calculer }\lim _{n \rightarrow+\infty} \ln \left(u_n\right)\\ \ \\\text{3. En déduire que, }\\\forall x \in \mathbb{R}, e^x=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
a est un reˊel strictement positifdonneˊ. On consideˋre la fonctiondeˊfinie par :∀x∈R+∗ par f(x)=xln⁡(1+ax) 1. Montrer que la fonction f est est deˊrivable sur ]0;+∞[ et que ∀x∈R+∗,f′(x)=ln⁡(1+ax)−ax+a 2. Calculer f′′(x) et en deˊduire les variations de f′ 3. Deˊterminer lim⁡x→+∞f′(x)en deˊduire le signe de f′(x) puisle sens de variation de f.a\text{ est un réel strictement positif}\\\text{donné. }\text{On considère la fonction}\\\text{définie par :}\\\forall x\in\mathbb{R}_{+}^*\text{ par }f(x)=x\ln\left(1+\frac{a}{x}\right)\\ \ \\\text{1. Montrer que la fonction }f\text{ est }\\\text{est dérivable sur }]0;+\infty\left[\right.\text{ et que }\\\forall x\in\mathbb{R}_{+}^*,f^{\prime}(x)=\ln\left(1+\frac{a}{x}\right)-\frac{a}{x+a}\\ \ \\\text{2. Calculer }f^{\prime\prime}(x)\text{ et en déduire les }\\\text{variations de }f^{\prime}\\ \ \\\text{3. Déterminer }\lim _{x \rightarrow+\infty}f^{\prime}(x)\\\text{en déduire le signe de }f^{\prime}(x)\text{ puis}\\\text{le sens de variation de }f.
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Déterminer les limites suivantes. a) lim⁡x→+∞2xln⁡(x)−4\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} 2 x \ln (x)-4 b) lim⁡x→0+xln⁡(x)+3x\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} x \ln (x)+\large\frac{3}{x} c) lim⁡x→+∞5x2ln⁡(x)−4x2+1\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} 5 x^2 \ln (x)-4 x^2+1 d) lim⁡x→3x>3ln⁡(x−3)x−3+3x\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 3 x>3}} \large\frac{\ln (x-3)}{x-3}\normalsize+3 x
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
On considère la fonction ff définie par f(x)=1xln⁡(x)f(x)=\large\frac{1}{x \ln (x)}.
\quad. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction ff.
\quad. Déterminer les variations de la fonction ff.
\quad. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C\mathscr{C} représentant la fonction ff au point d'abscisse ee.
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Déterminer les limites suivantes
\quad. lim⁡x→+∞ln⁡x−2x\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \ln x-2 x
\quad. lim⁡x→0+(ln⁡x)2−3ln⁡x\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}(\ln x)^2-3 \ln x
\quad. lim⁡x→+∞ln⁡(x2+105x+18)\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \ln \left(x^2+105 x+18\right)
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 2
Déterminer le plus grand ensemble de définition possible de chacune des fonctions suivantes, puis calculer f′(x)f^{\prime}(x). a) f(x)=ln⁡(8x−4)f(x)=\ln (8 x-4) b) f(x)=ln⁡(x2+x+1)f(x)=\ln \left(x^2+x+1\right) c) f(x)=ln⁡(x−12x+4)f(x)=\ln \left(\large\frac{x-1}{2 x+4}\right) d) f(x)=ln⁡(ex−1)f(x)=\ln \left(\mathrm{e}^x-1\right)
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