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Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
Calculer les deˊriveˊes desfonctions sur I : a)  f(x)=cos⁡(1+x2)I=R b)  f(x)=sin⁡(−5x+π4)I=R c)  f(x)=cos⁡(2x)−xsin⁡(2x)+xI=[3;+∞[ d)  f(x)=ecosxI=R\text{Calculer les dérivées des}\\\text{fonctions sur }I\text{ :}\\ \ \\a)\;f(x)=\cos(\sqrt{1+x^2})\quad I=\R\\ \ \\b)\;f(x)=\sin(-5x+\frac{\pi}{4})\quad I=\R\\ \ \\c)\;f(x)=\large\frac{\cos(2x)-x}{\sin(2x)+x}\normalsize\quad I=[3;+\infty[\\ \ \\d)\;f(x)=e^{cosx}\quad I=\R
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Sachant que la fonction sinusest deˊrivable sur R, deˊmontrerque lim⁡x→0sin⁡(x)x=1.\text{Sachant que la fonction sinus}\\\text{est dérivable sur }\mathbb{R}\text{, démontrer}\\\text{que }\lim _{x \rightarrow 0}\large\frac{\sin(x)}{x}\normalsize=1.
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 2
Reˊsoudre dans l’intervalle ]−π;π] 1. cos⁡(2x+π6)=12 2. sin⁡(3x−π3)=−22 3. cos⁡(x)=cos⁡(x+π4) 4. 2cos⁡(2x)=1\text{Résoudre dans l'intervalle }]-\pi;\pi]\\ \ \\\text{1. }\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\\ \ \\\text{2. }\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \ \\\text{3. }\cos(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\\ \ \\\text{4. }2\cos(2x)=1
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 2
Soit la fonction f deˊfinie sur R parf(x)=7sin⁡(x2) 1. Deˊterminer si f est une fonctionpeˊriodique. Si oui, deˊterminer sapeˊriode. 2. Eˊtudier la pariteˊ de la fonction f.\text{Soit la fonction }f\text{ définie sur }\mathbb{R}\text{ par}\\f(x)=7 \sin \left(\frac{x}{2}\right)\\ \ \\\text{1. Déterminer si }f\text{ est une fonction}\\\text{périodique. Si oui, déterminer sa}\\\text{période.}\\ \ \\\text{2. Étudier la parité de la fonction }f.
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
La fonction tangente est deˊfiniesur ]0;π2[ par : tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x) Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?1. La fonction cos⁡(x) estcroissante sur [0;π].2. (tan⁡(x))′=11+cos⁡(2x)3. (tan⁡(x))′=1cos⁡2(x)4. (tan⁡(x))′=1+tan⁡2(x)\text{La fonction tangente est définie}\\\text{sur }]0;\large\frac{\pi}{2}\normalsize[\text{ par :}\\ \ \\\tan(x)=\large\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\normalsize\\ \ \\\text{Les affirmations suivantes sont-}\\\text{elles vraies ou fausses ?}\\\text{1. La fonction }\cos(x)\text{ est}\\\text{croissante sur }[0;\pi].\\\text{2. }(\tan(x))^{\prime}=\large\frac{1}{1+\cos(2x)}\normalsize\\\text{3. }(\tan(x))^{\prime}=\large\frac{1}{\cos^2(x)}\normalsize\\\text{4. }(\tan(x))^{\prime}=1+\tan^2(x)
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
Soit (an)n∈N une suite non constantede reˊels.Pour tout entier n, on pose un=sin⁡(an) Peut-on choisir une suite (an)n∈N telleque la suite (un)n∈N converge vers 22 ?\small\text{Soit }\left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\text{ une suite non constante}\\\text{de réels.}\\\text{Pour tout entier }n\text{, on pose }u_n=\sin \left(a_n\right)\\ \ \\\text{Peut-on choisir une suite }\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\text{ telle}\\\text{que la suite }\left(u_n\right)_{n\in \mathbb{N}}\text{ converge vers }\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ ?}
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Résoudre les équations et les inéquations suivantes sur l'intervalle associé. a) sin⁡(3x+π2)+1=0\sin \left(3 x+\frac{\pi}{2}\right)+1=0\quadsur I=]−π;π]\mathrm{I}=]-\pi ; \pi] b) 2cos⁡(x+π)+3=02 \cos (x+\pi)+\sqrt{3}=0\quadsur I=]−π;π]\mathrm{I}=]-\pi ; \pi] c) cos⁡(x+π2)⩽32\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right) \leqslant \frac{\sqrt{3}}{2} \quad sur I=[0;2π[\mathrm{I}=[0 ; 2 \pi[
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
Résoudre dans [−π;2π][-\pi ; 2 \pi] les inéquations suivantes. a) cos⁡(x)⩽12\cos (x) \leqslant \frac{1}{2} b) sin⁡(x)>0\sin (x)>0 c) sin⁡(x)⩾−32\sin (x) \geqslant-\frac{\sqrt{3}}{2}
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Résoudre dans l'intervalle [0;4π][0 ; 4 \pi] les équations suivantes. a) cos⁡(x)=−1\cos (x)=-1 b) sin⁡(x)=0\sin (x)=0 c) sin⁡(x)=−32\sin (x)=-\frac{\sqrt{3}}{2} d) cos⁡(x)=−22\cos (x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 2
Déterminer la dérivée des fonctions proposées sur l'intervalle II.
a) f(x)=−3cos⁡(3x)f(x)=-3 \cos (3 x)\quad sur I=RI=\mathbb{R} b) f(x)=sin⁡(x2+x)f(x)=\sin \left(x^2+x\right)\quad sur I=RI=\mathbb{R} c) f(x)=cos⁡(12+x3)f(x)=\cos \left(\frac{1}{2+x^3}\right)\quadsur I=RI=\mathbb{R} d) f(x)=1+cos⁡2(x)f(x)=\sqrt{1+\cos ^2(x)}\quad sur I=RI=\mathbb{R}
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