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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
On consideˋre la fonctiong:x↦1x(x2−1) sur ]1;+∞[. 1. Deˊterminer les nombres reˊelsa,b et c tels que l’on ait, pourtout x>1:g(x)=ax+bx+1+cx−1 2. En deˊduire l’ensemble desprimitives de g sur ]1;+∞[. 3. Soit G une primitive quel-conque de g sur ]1;+∞[.Deˊterminer la limite de G en+∞ et en 1.\text{On considère la fonction}\\g:x\mapsto\large\frac{1}{x\left(x^2-1\right)}\normalsize\text{ sur }]1;+\infty[.\\ \ \\\text{1. Déterminer les nombres réels}\\a,b\text{ et }c\text{ tels que l'on ait, pour}\\\text{tout }x>1:\\g(x)=\large\frac{a}{x}\normalsize+\large\frac{b}{x+1}\normalsize+\large\frac{c}{x-1}\normalsize\\ \ \\\text{2. En déduire l'ensemble des}\\\text{primitives de }g\text{ sur }]1;+\infty[.\\ \ \\\text{3. Soit }G\text{ une primitive quel-}\\\text{conque de }g\text{ sur }]1;+\infty[.\\\text{Déterminer la limite de }G\text{ en}\\+\infty\text{ et en 1.}
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Les affirmations suivantes sont-ellesvraies ou fausses ? 1. Soit la fonction f deˊfinie sur ]0;+∞[par f(x)=x+1x2+2xAffirmation 1 : La fonction F(x)=x+ln⁡(x2+2x)2 est une primitivede f sur ]0;+∞[. 2. On consideˋre la fonction g deˊfiniesur R par g(x)=1−e−2x1+e−2x.Affirmation 2 : la fonction g est pair.Affirmation 3 : la fonction g s’eˊcrit g(x)=ex−e−xex+e−x est une primitive deg sur R est ln⁡(ex+e−x) 3. Affirmation 4 : Si une fonctioncontinue sur R est impaire, alors saprimitive sur R qui s’annule en 0 estpaire.\small\text{Les affirmations suivantes sont-elles}\\\text{vraies ou fausses ?}\\ \ \\\text{1. Soit la fonction }f\text{ définie sur }]0;+\infty[\\\text{par }f(x)=\normalsize\frac{x+1}{x^2+2x}\small\\\textbf{Affirmation 1 : }\text{La fonction }\\F(x)=x+\normalsize\frac{\ln\left(x^2+2x\right)}{2}\small\text{ est une primitive}\\\text{de }f\text{ sur }] 0 ;+\infty[.\\ \ \\\text{2. On considère la fonction }g\text{ définie}\\\text{sur }\mathbb{R}\text{ par }g(x)=\normalsize\frac{1-\mathrm{e}^{-2 x}}{1+\mathrm{e}^{-2 x}}.\small\\\textbf{Affirmation 2 : }\text{la fonction }g\text{ est pair.}\\\textbf{Affirmation 3 : }\text{la fonction }g\text{ s'écrit }\\g(x)=\normalsize\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}\small\text{ est une primitive de}\\g\text{ sur }\mathbb{R}\text{ est }\ln \left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}\right)\\ \ \\\text{3. }\textbf{Affirmation 4 : }\text{Si une fonction}\\\text{continue sur }\mathbb{R}\text{ est impaire, alors sa}\\\text{primitive sur }\mathbb{R}\text{ qui s'annule en 0 est}\\\text{paire.}
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Deˊterminer la primitive F de fveˊrifiant les conditions initialesF(x0)=y0 1. f(x)=6x+13x2+x+1;x0=0et y0=0 2. f(x)=3x+23x2+4x+1;x0=0et y0=2 3. f(x)=cos⁡(7x);x0=π et y0=2 4. f(x)=2(x+4)2;x0=−3 et y0=1\text{Déterminer la primitive }F\text{ de }f\\\text{vérifiant }\text{les conditions initiales}\\F\left(x_0\right)=y_0\\ \ \\\text{1. }f(x)=\large\frac{6x+1}{3x^2+x+1}\normalsize;x_0=0\\\text{et }y_0=0\\ \ \\\text{2. }f(x)=\large\frac{3x+2}{\sqrt{3x^2+4x+1}}\normalsize;x_0=0\\\text{et }y_0=2\\ \ \\\text{3. }f(x)=\cos(7x);x_0=\pi\text{ et }y_0=2\\ \ \\\text{4. }f(x)=\large\frac{2}{(x+4)^2}\normalsize;x_0=-3\text{ et }y_0=1
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 2
La pente de la tangente en toutpoint (x;y) d’une courbe est eˊgaleaˋ 2x2 Trouver l’eˊquation de cette courbe sachant qu’elle passe par le pointP(−1;−2).\text{La pente de la tangente en tout}\\\text{point }(x;y)\text{ d'une courbe est égale}\\\text{à }\large\frac{2}{x^2}\normalsize\\ \ \\\text{Trouver l'équation de cette courbe }\\\text{sachant qu'elle passe par le point}\\\mathrm{P}(-1;-2).
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