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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Le but de cet exercice est d’eˊtudier certaines solutions sur R de l’eˊquationdiffeˊrentielle :y′(x)=∣y(x)−x∣et de donner l’allure des courbescorrespondantes (encore appeleˊes courbes inteˊgrales de cette eˊquation). 1. Eˊtudier les solutions y telles quepour tout x∈R,y(x)⩾xet donner l’allure des courbesinteˊgrales. 2. Eˊtudier de meˆme les courbesinteˊgrales qui restent dans le demi-plan d’eˊquationy⩽x.\small\text{Le but de cet exercice est d'étudier }\\\text{certaines solutions sur }\mathbb{R}\text{ de }\text{l'équation}\\\text{différentielle :}\quad y^{\prime}(x)=|y(x)-x|\\\text{et de donner l'allure des courbes}\\\text{correspondantes (encore appelées }\\\text{courbes intégrales de cette équation).}\\ \ \\\text{1. Étudier les solutions }y\text{ telles que}\\\text{pour tout }x\in\mathbb{R},\quad y(x)\geqslant x\\\text{et donner l'allure des courbes}\\\text{intégrales.}\\ \ \\\text{2. Étudier de même les courbes}\\\text{intégrales }\text{qui restent dans le demi-}\\\text{plan d'équation}\quad y\leqslant x.
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
On cherche aˋ reˊsoudre l’eˊquation (E) y′=y+ex 1. Montrer que la fonction g(x)=xexest solution de l’eˊquation (E). 2.(a) Montrer l’eˊquivalence suivante :une fonction f est solution de (E) si etseulement si f−g est solution del’eˊquation y′=y(b) En deˊduire la forme de la fonctionf−g, puis celle de f 3. Deˊterminer la fonction solution de(E) qui prend en 1 la valeur 2 .\small\text{On cherche à résoudre l'équation }\\\text{(E) }y^{\prime}=y+\mathrm{e}^x\\ \ \\\text{1. Montrer que la fonction }g(x)=x\mathrm{e}^x\\\text{est solution de l'équation (E).}\\ \ \\\text{2.(a) Montrer l'équivalence suivante :}\\\text{une fonction }f\text{ est solution de (E) si et}\\\text{seulement si }f-g\text{ est solution de}\\\text{l'équation }y^{\prime}=y\\\text{(b) En déduire la forme de la fonction}\\f-g\text{, puis celle de }f\\ \ \\\text{3. Déterminer la fonction solution de}\\\text{(E) qui prend en 1 la valeur 2 .}
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
Pour eˊtudier une population N, lele modeˋle de Malthus consiste aˋ eˊcrireque le taux de variation de lapopulation veˊrifie : N′(t)=βN(t)−δN(t) ouˋ β est le taux de fertiliteˊ (nombre denaissances par uniteˊ de temps et parindividu) et δ le taux de mortaliteˊ(nombre de deˊceˋs par uniteˊ de tempset par individu), que l’on supposeconstants. 1. En notant N0 la population de deˊpart,exprimer N en fonctuion de β de δet de N0 2. Si la fertiliteˊ l’emporte sur la morta-liteˊ, c’est-aˋ-dire si β>δ, le modeˋlepreˊvoit une croissance « exponen-tielle ».Justifier cette expression. 3. Si, au contraire, β<δ preˊciser letype de croissance du modeˋle.\small\text{Pour étudier une population }N\text{, le}\\\text{le modèle de Malthus consiste à écrire}\\\text{que le taux de variation de la}\\\text{population vérifie :}\\ \ \\N^{\prime}(t)=\beta N(t)-\delta N(t)\\ \ \\\text{où }\beta\text{ est le taux de fertilité (nombre de}\\\text{naissances par unité de temps et par}\\\text{individu) et }\delta\text{ le taux de mortalité}\\\text{(nombre de décès par unité de temps}\\\text{et par individu), que l'on suppose}\\\text{constants.}\\ \ \\\text{1. En notant }N_0\text{ la population de départ,}\\\text{exprimer }N\text{ en fonctuion de }\beta\text{ de }\delta\\\text{et de }N_0\\ \ \\\text{2. Si la fertilité l'emporte sur la morta-}\\\text{lité,}\text{ c'est-à-dire si }\beta>\delta\text{, le modèle}\\\text{prévoit une croissance « exponen-}\\\text{tielle ».}\\\text{Justifier cette expression.}\\ \ \\\text{3. Si, au contraire, }\beta<\delta\text{ préciser le}\\\text{type de croissance du modèle.}
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