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Maths SM&SP
Analyse
Difficulté 2
La pente de la tangente en toutpoint (x;y) d’une courbe est eˊgaleaˋ 2x2 Trouver l’eˊquation de cette courbe sachant qu’elle passe par le pointP(−1;−2).\text{La pente de la tangente en tout}\\\text{point }(x;y)\text{ d'une courbe est égale}\\\text{à }\large\frac{2}{x^2}\normalsize\\ \ \\\text{Trouver l'équation de cette courbe }\\\text{sachant qu'elle passe par le point}\\\mathrm{P}(-1;-2).
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Analyse
Difficulté 3
Deˊterminer la primitive F de fveˊrifiant les conditions initialesF(x0)=y0 1. f(x)=6x+13x2+x+1;x0=0et y0=0 2. f(x)=3x+23x2+4x+1;x0=0et y0=2 3. f(x)=cos⁡(7x);x0=π et y0=2 4. f(x)=2(x+4)2;x0=−3 et y0=1\text{Déterminer la primitive }F\text{ de }f\\\text{vérifiant }\text{les conditions initiales}\\F\left(x_0\right)=y_0\\ \ \\\text{1. }f(x)=\large\frac{6x+1}{3x^2+x+1}\normalsize;x_0=0\\\text{et }y_0=0\\ \ \\\text{2. }f(x)=\large\frac{3x+2}{\sqrt{3x^2+4x+1}}\normalsize;x_0=0\\\text{et }y_0=2\\ \ \\\text{3. }f(x)=\cos(7x);x_0=\pi\text{ et }y_0=2\\ \ \\\text{4. }f(x)=\large\frac{2}{(x+4)^2}\normalsize;x_0=-3\text{ et }y_0=1
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Maths SM&SP
Analyse
Difficulté 3
On consideˋre la fonctiong:x↦1x(x2−1) sur ]1;+∞[. 1. Deˊterminer les nombres reˊelsa,b et c tels que l’on ait, pourtout x>1:g(x)=ax+bx+1+cx−1 2. En deˊduire l’ensemble desprimitives de g sur ]1;+∞[. 3. Soit G une primitive quel-conque de g sur ]1;+∞[.Deˊterminer la limite de G en+∞ et en 1.\text{On considère la fonction}\\g:x\mapsto\large\frac{1}{x\left(x^2-1\right)}\normalsize\text{ sur }]1;+\infty[.\\ \ \\\text{1. Déterminer les nombres réels}\\a,b\text{ et }c\text{ tels que l'on ait, pour}\\\text{tout }x>1:\\g(x)=\large\frac{a}{x}\normalsize+\large\frac{b}{x+1}\normalsize+\large\frac{c}{x-1}\normalsize\\ \ \\\text{2. En déduire l'ensemble des}\\\text{primitives de }g\text{ sur }]1;+\infty[.\\ \ \\\text{3. Soit }G\text{ une primitive quel-}\\\text{conque de }g\text{ sur }] 1 ;+\infty[.\\\text{Déterminer la limite de }G\text{ en}\\+\infty\text{ et en 1.}
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Maths SM&SP
Analyse
Difficulté 3
On cherche aˋ reˊsoudre l’eˊquation (E) y′=y+ex 1. Montrer que la fonction g(x)=xexest solution de l’eˊquation (E). 2.(a) Montrer l’eˊquivalence suivante :une fonction f est solution de (E) si etseulement si f−g est solution del’eˊquation y′=y(b) En deˊduire la forme de la fonctionf−g, puis celle de f 3. Deˊterminer la fonction solution de(E) qui prend en 1 la valeur 2 .\small\text{On cherche à résoudre l'équation }\\\text{(E) }y^{\prime}=y+\mathrm{e}^x\\ \ \\\text{1. Montrer que la fonction }g(x)=x\mathrm{e}^x\\\text{est solution de l'équation (E).}\\ \ \\\text{2.(a) Montrer l'équivalence suivante :}\\\text{une fonction }f\text{ est solution de (E) si et}\\\text{seulement si }f-g\text{ est solution de}\\\text{l'équation }y^{\prime}=y\\\text{(b) En déduire la forme de la fonction}\\f-g\text{, puis celle de }f\\ \ \\\text{3. Déterminer la fonction solution de}\\\text{(E) qui prend en 1 la valeur 2 .}
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Maths SM&SP
Analyse
Difficulté 3
Le but de cet exercice est d’eˊtudier certaines solutions sur R de l’eˊquationdiffeˊrentielle :y′(x)=∣y(x)−x∣et de donner l’allure des courbescorrespondantes (encore appeleˊes courbes inteˊgrales de cette eˊquation). 1. Eˊtudier les solutions y telles quepour tout x∈R,y(x)⩾xet donner l’allure des courbesinteˊgrales. 2. Eˊtudier de meˆme les courbesinteˊgrales qui restent dans le demi-plan d’eˊquationy⩽x.\small\text{Le but de cet exercice est d'étudier }\\\text{certaines solutions sur }\mathbb{R}\text{ de }\text{l'équation}\\\text{différentielle :}\quad y^{\prime}(x)=|y(x)-x|\\\text{et de donner l'allure des courbes}\\\text{correspondantes (encore appelées }\\\text{courbes intégrales de cette équation).}\\ \ \\\text{1. Étudier les solutions }y\text{ telles que}\\\text{pour tout }x\in\mathbb{R},\quad y(x)\geqslant x\\\text{et donner l'allure des courbes}\\\text{intégrales.}\\ \ \\\text{2. Étudier de même les courbes}\\\text{intégrales }\text{qui restent dans le demi-}\\\text{plan d'équation}\quad y\leqslant x.
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Maths SM&SP
Analyse
Difficulté 3
Les affirmations suivantes sont-ellesvraies ou fausses ? 1. Soit la fonction f deˊfinie sur ]0;+∞[par f(x)=x+1x2+2xAffirmation 1 :La fonction F(x)=x+ln⁡(x2+2x)2est une primitive def sur ]0;+∞[2. On consideˋre la fonction g deˊfinie sur R par g(x)=1−e−2x1+e−2xAffirmation 2 : la fonction g est pair.Affirmation 3 : la fonction g s’eˊcrit g(x)=ex−e−xex+e−x est une primitive de g sur Rest ln⁡(ex+e−x)3. Affirmation 4 :Si une fonction continuesur R est impaire, alors sa primitive sur Rqui s’annule en 0 est paire.\text{Les affirmations suivantes sont-elles}\\\text{vraies ou fausses ?}\\ \ \\\text{1. Soit la fonction }f\text{ définie sur }] 0 ;+\infty[\\\text{par }f(x)=\frac{x+1}{x^2+2 x}\\\textbf{Affirmation 1 :}\text{La fonction }\\F(x)=x+\frac{\ln \left(x^2+2 x\right)}{2}\text{est une primitive de}\\f\text{ sur }] 0 ;+\infty[\\\text{2. On considère la fonction }g\text{ définie sur }\\\mathbb{R}\text{ par }g(x)=\frac{1-\mathrm{e}^{-2 x}}{1+\mathrm{e}^{-2 x}}\\\textbf{Affirmation 2 : }\text{la fonction }g\text{ est pair.}\\\textbf{Affirmation 3 : }\text{la fonction }g\text{ s'écrit }\\g(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}\text{ est une primitive de }g\text{ sur }\mathbb{R}\\\text{est }\ln \left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}\right)\\\text{3. }\textbf{Affirmation 4 :}\text{Si une fonction continue}\\\text{sur }\mathbb{R}\text{ est impaire, alors sa primitive sur }\mathbb{R}\\\text{qui s'annule en 0 est paire.}
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