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Maths SM&SP
Analyse
Difficulté 3
On consideˋre la fonction f deˊfiniesur R par f(x)=(x+2)e12x. Soient u et v les fonctions deˊfiniessur R par u(x)=x et v(x)=e12x. a) Veˊrifier que f=2(u′v+uv′).b) En deˊduire la valeur del’inteˊgrale ∫01f(x)dx.\text{On considère la fonction }f\text{ définie}\\\text{sur }\mathbb{R}\text{ par }f(x)=(x+2)e^{\frac{1}{2}x}.\\ \ \\\text{Soient }u\text{ et }v\text{ les fonctions définies}\\\text{sur }\mathbb{R}\text{ par }u(x)=x\text{ et }v(x)=e^{\frac{1}{2}x}.\\ \ \\a)\text{ Vérifier que }f=2\left(u^{\prime}v+uv^{\prime}\right).\\b)\text{ En déduire la valeur de}\\\text{l'intégrale }\int_0^1f(x)\mathrm{d}x.
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Maths SM&SP
Analyse
Difficulté 3
Pour tout entier n appartenantaˋ N∗, on consideˋre l’inteˊgraleIn=∫1e(ln⁡(x))ndx. a) Deˊmontrer que pour tout xappartenant aˋ l’intervalle [1,e]et pour tout n entier naturel nonnul, on a (ln⁡x)n−(ln⁡x)n−1≤0. b) En deˊduire que la suite Inest deˊcroissante.\text{Pour tout entier }n\text{ appartenant}\\\text{à }\mathbb{N}^*,\text{ on considère l'intégrale}\\I_n=\int_1^e(\ln (x))^{\mathrm{n}}dx.\\ \ \\a)\text{ Démontrer que pour tout }x\\\text{appartenant à l'intervalle }[1,\mathrm{e}]\\\text{et pour }\text{tout }n\text{ entier naturel non}\\\text{nul, on a }(\ln x)^n-(\ln x)^{n-1}\leq 0.\\ \ \\b)\text{ En déduire que la suite }I_n\\\text{est décroissante.}
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