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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
On consideˋre la fonction f deˊfiniesur ]0;+∞[ par f(x)=∫1xett dt. 1. Justifier que f est deˊfinie etdeˊrivable sur ]0;+∞[, deˊterminerf′(x) puis les variations de f. 2. En deˊduire le tableaude signe de f(x). 3. Deˊmontrer que pour toutreˊel t∈]0;+∞[,ett≥1t. 4. Deˊduire du 3. que pour toutx∈[1;+∞[,f(x)≥ln⁡x 5. Deˊduire du 3. que pourtout x∈]0;1],f(x)≤ln⁡x 6. Deˊduire lim⁡x→+∞f(x)et lim⁡x→0x>0f(x).\text{On considère la fonction }f\text{ définie}\\\text{sur }]0;+\infty[\text{ par }f(x)=\int_1^x\large\frac{e^t}{t}\normalsize\mathrm{~d}t.\\ \ \\1.\text{ Justifier que }f\text{ est définie et}\\\text{dérivable sur }]0;+\infty[,\text{ déterminer}\\f^{\prime}(x)\text{ puis les variations de }f.\\ \ \\2.\text{ En déduire le tableau}\\\text{de signe de }f(x).\\ \ \\3.\text{ Démontrer que pour tout}\\\text{réel }t\in]0;+\infty[,\quad\large\frac{e^t}{t}\normalsize\geq\large\frac{1}{t}\normalsize.\\ \ \\4.\text{ Déduire du 3. que pour tout}\\x\in[1;+\infty[,\quad f(x)\geq\ln x\\ \ \\5.\text{ Déduire du 3. que pour}\\\text{tout }x\in]0;1],\quad f(x)\leq\ln x\\ \ \\6.\text{ Déduire }\lim_{x \rightarrow+\infty}f(x)\\\text{et }\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}f(x).
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 4
Soient f et h les fonctionsdeˊfinies sur R par :f(x)=31+e−2xh(x)=3−f(x). 1. Justifier que la fonction h estpositive sur R. 2. Soit H la fonction deˊfinie sur Rpar H(x)=−32ln⁡(1+e−2x).Deˊmontrer que H est une primitivede h sur R. 3. Soit a un reˊel strictement positif.a. Donner une interpreˊtationgraphique de l’inteˊgrale ∫0ah(x)dx. b. Deˊmontrer que∫0ah(x)dx=32ln⁡(21+e−2a) c. On note D l’ensemble despoints M(x;y) du plan deˊfinis par{x≥0f(x)≤y≤3Deˊterminer l’aire, en uniteˊ d’aire,du domaine D.\text{Soient }f\text{ et }h\text{ les fonctions}\\\text{définies sur }\mathbb{R}\text{ par :}\\f(x)=\large\frac{3}{1+\mathrm{e}^{-2 x}}\normalsize\\h(x)=3-f(x).\\ \ \\1.\text{ Justifier que la fonction }h\text{ est}\\\text{positive sur }\mathbb{R}.\\ \ \\2.\text{ Soit }H\text{ la fonction définie sur }\mathbb{R}\\\text{par }H(x)=-\frac{3}{2}\ln\left(1+\mathrm{e}^{-2 x}\right).\\\text{Démontrer que }H\text{ est une primitive}\\\text{de }h\text{ sur }\mathbb{R}.\\ \ \\3.\text{ Soit }a\text{ un réel strictement positif.}\\a.\text{ Donner une interprétation}\\\text{graphique }\text{de l'intégrale }\int_0^ah(x)\mathrm{d}x.\\ \ \\b.\text{ Démontrer que}\\\int_0^ah(x)\mathrm{d}x=\frac{3}{2}\ln\left(\large\frac{2}{1+\mathrm{e}^{-2 a}}\normalsize\right)\\ \ \\c.\text{ On note }\mathcal{D}\text{ l'ensemble des}\\\text{points }M(x;y)\text{ du plan définis par}\\\quad\quad\left\{\begin{array}{l}x\geq 0\\f(x)\leq y\leq 3\end{array}\right.\\\text{Déterminer l'aire, en unité d'aire,}\\\text{du domaine }\mathcal{D}.
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 5
L’objectif de cet exercice estde calculer : ∫−111−x2 dx. On consideˋre la fonction fdeˊfinie par f(x)=1−x2. 1) Deˊterminer le domaine dedeˊfinition de la fonction f. 2) Quelle conjecture peut-onfaire concernant la courbe dela fonction f ?Deˊmontrer cette conjecture. 3) En deˊduire la valeur del’inteˊgrale ∫−111−x2 dx\text{L'objectif de cet exercice est}\\\text{de calculer : }\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{~d}x.\\ \ \\\text{On considère la fonction }f\\\text{définie par }f(x)=\sqrt{1-x^2}.\\ \ \\1)\text{ Déterminer le domaine de}\\\text{définition de la fonction }f.\\ \ \\2)\text{ Quelle conjecture peut-on}\\\text{faire concernant la courbe de}\\\text{la fonction }f\text{ ?}\\\text{Démontrer cette conjecture.}\\ \ \\3)\text{ En déduire la valeur de}\\\text{l'intégrale }\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{~d}x.
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Soit un entier n≥1.On note fn la fonction deˊfinie pourtout reˊel x de l’intervalle [0;1] parfn(x)=11+xn.Pour tout entier n≥1, on note In=∫01fn(x)dx. 1) Deˊterminer I1. 2) Deˊmontrer que, pour tout reˊelx∈[0;1] et pour tout entier n≥1,on a :1−xn≤11+xn≤1 3) En deˊduire que la suite (In) estconvergente et preˊciser sa limite.\text{Soit un entier }n\geq 1.\\\text{On note }f_n\text{ la fonction définie pour}\\\text{tout réel }x\text{ de l'intervalle }[0;1]\text{ par}\\f_n(x)=\large\frac{1}{1+x^n}\normalsize.\\\text{Pour tout entier }n\geq 1\text{, on note }\\\mathrm{I}_n=\int_0^1f_n(x)\mathrm{d}x.\\ \ \\1)\text{ Déterminer }I_1.\\ \ \\2)\text{ Démontrer que, pour tout réel}\\x\in[0;1]\text{ et pour tout entier }n\geq 1\text{,}\\\text{on a :}\quad 1-x^n\leq\large\frac{1}{1+x^n}\normalsize\leq 1\\ \ \\3)\text{ En déduire que la suite }\left(I_n\right)\text{ est}\\\text{convergente et préciser sa limite.}
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Maths Spé
Analyse
Difficulté 3
Calculer J=∫0π2exsin⁡(x)dx\text{Calculer }\mathrm{J}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{e}^x\sin(\mathrm{x})\mathrm{dx}
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