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Maths
Algèbre
Difficulté 3
À quelle condition existe-t-il des matrices
vérifiant ?
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit un endomorphisme non nul de vérifiant .
(a) Montrer que n'est pas surjectif.
(b) Montrer que n'est pas diagonalisable et que .
(c) Montrer que, pour tout , la famille est une base de Im et calculer la trace de .
(a) Montrer que n'est pas surjectif.
(b) Montrer que n'est pas diagonalisable et que .
(c) Montrer que, pour tout , la famille est une base de Im et calculer la trace de .
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit et deux -espaces vectoriels de dimension finie, .
Soit . On note
(a) Si est bijectif, montrer .
(b) Montrer que avec .
(c) On suppose que et on définit l'application . Montrer
Soit . On note
(a) Si est bijectif, montrer .
(b) Montrer que avec .
(c) On suppose que et on définit l'application . Montrer
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient vérifiant
Montrer
Montrer
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Algèbre
Difficulté 5
Soit un -espace vectoriel de dimension finie .
Montrer que de rang 1 n'est pas forcément un projecteur.
Montrer que de rang 1 et de trace 1 est un projecteur.
Trouver une base de constituée de projecteurs.
Montrer que de rang 1 n'est pas forcément un projecteur.
Montrer que de rang 1 et de trace 1 est un projecteur.
Trouver une base de constituée de projecteurs.
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Pour et fixées dans , résoudre dans l'équation
Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit .
Calculer la trace de l'endomorphisme donné par
Calculer la trace de l'endomorphisme donné par
Maths
Algèbre
Difficulté 3
(a) Soit une forme linéaire sur vérifiant
Montrer que est proportionnelle à la trace.
(b) Soit un endomorphisme de l'espace vectoriel vérifiant
pour toutes et .
Montrer que conserve la trace.
Montrer que est proportionnelle à la trace.
(b) Soit un endomorphisme de l'espace vectoriel vérifiant
pour toutes et .
Montrer que conserve la trace.
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit une forme linéaire sur vérifiant
Montrer que est proportionnelle à la trace.
Montrer que est proportionnelle à la trace.
Maths
Algèbre
Difficulté 4
(a) Soit un sous-groupe fini de tel que . Montrer que
(b) Soit un sous-groupe fini de un sous-espace vectoriel de stable par les éléments de . Montrer qu'il existe un supplémentaire de dans stable par tous les éléments de .
(b) Soit un sous-groupe fini de un sous-espace vectoriel de stable par les éléments de . Montrer qu'il existe un supplémentaire de dans stable par tous les éléments de .
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Algèbre
Difficulté 3
Soient ou et une partie non vide et finie de stable par multiplication.
(a) Soit . Montrer que n'est pas injective. En déduire que est un sous-groupe de .
Soient (b) Montrer, si , que . En déduire .
(c) Trouver un supplémentaire, dans , stable par tous les éléments de , de (d) Montrer queQue dire si cette somme est nulle?
(a) Soit . Montrer que n'est pas injective. En déduire que est un sous-groupe de .
Soient (b) Montrer, si , que . En déduire .
(c) Trouver un supplémentaire, dans , stable par tous les éléments de , de (d) Montrer queQue dire si cette somme est nulle?
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Algèbre
Difficulté 5
(a) Dans un espace de dimension finie, pourquoi le rang d'un projecteur est-il égal à sa trace?
(b) Soit vérifiant .Montrer
(b) Soit vérifiant .Montrer
Maths
Algèbre
Difficulté 3
On note tr la forme linéaire trace sur .
Établir
où l'on note .
Établir
où l'on note .
Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit une forme linéaire sur .
Montrer qu'il existe tel que pour tout .
Montrer qu'il existe tel que pour tout .
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Algèbre
Difficulté 3
Soit une matrice carrée de taille à coefficients dans sous-corps de .
Montrer que si , il existe deux matrices et telles que
Montrer que si , il existe deux matrices et telles que
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Algèbre
Difficulté 2
Soient et l'endomorphisme de défini par
Exprimer la trace de en fonction de celle de .
Exprimer la trace de en fonction de celle de .
Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et de rang 1 . Montrer
À quelle condition un endomorphisme de rang 1 est-il un projecteur?
À quelle condition un endomorphisme de rang 1 est-il un projecteur?
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Existe-t-il des matrices vérifiant
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit .
(a) Exprimer le rang de
(b) Calculer l'inverse de lorsque cela est possible.
(a) Exprimer le rang de
(b) Calculer l'inverse de lorsque cela est possible.
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit
Calculer pour tout
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient et
On suppose que les matrices et sont inversibles.
Exprimer
On suppose que les matrices et sont inversibles.
Exprimer
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient et
(a) Montrer que est inversible si, et seulement si, l'est.
(b) Calculer pour tout .
(a) Montrer que est inversible si, et seulement si, l'est.
(b) Calculer pour tout .
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient et
Déterminer le rang de en fonction de celui de .
Déterminer le rang de en fonction de celui de .
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient et
On suppose inversible. Établir
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient et .
Montrer
Montrer
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Algèbre
Difficulté 3
Soient et la matrice
Établir
Établir
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Algèbre
Difficulté 5
Soient .
(a) On note la matrice obtenue en accolant les colonnes de à droite de celles de .
Montrer
(b) On note la matrice obtenue en accolant les lignes de en dessous de celles de .
Montrer
(c) En déduire
(a) On note la matrice obtenue en accolant les colonnes de à droite de celles de .
Montrer
(b) On note la matrice obtenue en accolant les lignes de en dessous de celles de .
Montrer
(c) En déduire
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Difficulté 4
Soient et deux familles libres d'éléments de .
Établir que la famille est une base de constituée de matrices de rang 1.
Établir que la famille est une base de constituée de matrices de rang 1.
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit une matrice de rang 1 .
(a) Montrer qu'il existe des matrices telles que .
(b) En déduire
(c) On suppose . Montrer que est inversible et
(d) Soient telle que . Montrer que est inversible et
(a) Montrer qu'il existe des matrices telles que .
(b) En déduire
(c) On suppose . Montrer que est inversible et
(d) Soient telle que . Montrer que est inversible et
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Algèbre
Difficulté 3
Soit une matrice carrée de rang 1
. Montrer qu'il existe tel que .
. Montrer qu'il existe tel que .
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Algèbre
Difficulté 3
Soit un groupe multiplicatif formé d'éléments de .
Montrer que les éléments de ont tous le même rang.
Montrer que les éléments de ont tous le même rang.
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Difficulté 3
Soient et matrices de rang 2 vérifiant .
Montrer .
Montrer .
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Difficulté 3
Soient et telles que
Déterminer les rangs de et .
Calculer en observant
Calculer en observant
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Algèbre
Difficulté 3
Soit et deux matrices carrées d'ordre 3 telles que .
Montrer que l'une au moins de ces matrices est de rang inférieur ou égal à 1.
Montrer que l'une au moins de ces matrices est de rang inférieur ou égal à 1.
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient et définie par
Donner le rang de et la dimension de son noyau.
Préciser noyau et image de .
Calculer .
Donner le rang de et la dimension de son noyau.
Préciser noyau et image de .
Calculer .
Maths
Algèbre
Difficulté 5
Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres :
(a)
(b)
(a)
(b)
Maths
Algèbre
Difficulté 2
Calculer le rang des applications linéaires suivantes :
(a) définie par
(b) définie par
(c) définie par
(a) définie par
(b) définie par
(c) définie par
Maths
Algèbre
Difficulté 2
Calculer le rang de familles de vecteurs suivantes de :
(a) avec et
(b) avec et
(c) avec et .
(a) avec et
(b) avec et
(c) avec et .
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit un endomorphisme non nul d'un -espace vectoriel de dimension 3 vérifiant .
(a) Soit . Démontrer que si avec et alors et .
(b) Montrer que.
(c) Prouver . Montrer que, si alors est une famille libre de .
(d) Que vaut ? En déduire .
(e) Déterminer une base de dans laquelle la matrice de est
(a) Soit . Démontrer que si avec et alors et .
(b) Montrer que.
(c) Prouver . Montrer que, si alors est une famille libre de .
(d) Que vaut ? En déduire .
(e) Déterminer une base de dans laquelle la matrice de est
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Algèbre
Difficulté 3
Soient un -espace vectoriel de dimension et tel que et .
Montrer qu'il existe une base de pour laquelle :
Montrer qu'il existe une base de pour laquelle :
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Algèbre
Difficulté 3
Soit
On note la base canonique de . $$
Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ dont la matrice dans $\mathcal{B}$ est $A$.
(a) Déterminer $\operatorname{Ker} f$ et $\operatorname{Im} f$. Démontrer que ces sous-espaces sont supplémentaires dans $\mathbb{R}^{3}$.
(b) Déterminer une base adaptée à cette supplémentarité et écrire la matrice de $f$ dans cette base.
(c) Décrire $f$ comme composée de transformations vectorielles élémentaires.
(a) Déterminer $\operatorname{Ker} f$ et $\operatorname{Im} f$. Démontrer que ces sous-espaces sont supplémentaires dans $\mathbb{R}^{3}$.
(b) Déterminer une base adaptée à cette supplémentarité et écrire la matrice de $f$ dans cette base.
(c) Décrire $f$ comme composée de transformations vectorielles élémentaires.
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Difficulté 3
Soit un -espace vectoriel muni d'une base .
Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans est
(a) Calculer . Qu'en déduire sur ?
(b) Déterminer une base de et .
(c) Quelle est la matrice de relativement à une base adaptée à la supplémentarité de et ?
Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans est
(a) Calculer . Qu'en déduire sur ?
(b) Déterminer une base de et .
(c) Quelle est la matrice de relativement à une base adaptée à la supplémentarité de et ?
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Algèbre
Difficulté 3
Soit un endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension vérifiant
(a) Justifier qu'il existe un vecteur tel que la famille forme une base de .
(b) Déterminer les matrices de dans cette base.
(c) En déduire que
(a) Justifier qu'il existe un vecteur tel que la famille forme une base de .
(b) Déterminer les matrices de dans cette base.
(c) En déduire que
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Difficulté 4
Soit un -espace vectoriel de dimension 3 et tel que et .
Montrer qu'il existe une base de dans laquelle la matrice de est
Montrer qu'il existe une base de dans laquelle la matrice de est
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Algèbre
Difficulté 3
Soit l'endomorphisme de défini par .
(a) Écrire la matrice de dans la base canonique de .
(b) Justifier que est inversible et calculer .
(a) Écrire la matrice de dans la base canonique de .
(b) Justifier que est inversible et calculer .
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Algèbre
Difficulté 3
On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires de suivants :
On note la base canonique de .
On note la projection vectorielle sur parallèlement à , celle sur parallèlement à , et enfin, la symétrie vectorielle par rapport à et parallèlement à .
(a) Former la matrice de dans .
(b) En déduire les matrices, dans , de et de .
On note la base canonique de .
On note la projection vectorielle sur parallèlement à , celle sur parallèlement à , et enfin, la symétrie vectorielle par rapport à et parallèlement à .
(a) Former la matrice de dans .
(b) En déduire les matrices, dans , de et de .
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient et définie par .
(a) Former la matrice de l'endomorphisme du -espace vectoriel dans la base .
(b) Déterminer image et noyau de .
(a) Former la matrice de l'endomorphisme du -espace vectoriel dans la base .
(b) Déterminer image et noyau de .
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Algèbre
Difficulté 3
Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des applications linéaires suivantes :
(a)
(b)
(c) $
(a)
(b)
(c) $