Maths

Algèbre

Difficulté 2

Quels sont les

f \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{n}\right)

telles que

f\left(\mathbb{Z}^{n}\right)=\mathbb{Z}^{n}

?
a) Pour

f : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}

,

f

est une application linéaire.
b) Si je vois

f

comme une matrice

A

, quelle est la condition sur

A

qui garantit

f\left(\mathbb{Z}^{n}\right)=\mathbb{Z}^{n}

?
c) Est-ce que cette condition est suffisante ?

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Maths

Algèbre

Difficulté 3

Soient

u, v: \mathbb{R}_{n}[X] \rightarrow \mathbb{R}_{n}[X]

définies par

u(P)=P(X+1) \text { et } v(P)=P(X-1)

(a)

Calculer

\operatorname{rg}(u-v)

en utilisant sa matrice.

(b)

Retrouver ce résultat d'une autre manière.

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Maths

Algèbre

Difficulté 4

Soit

f

un élément non nul de

\mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right)

vérifiant

f^{3}+f=0

.
Montrer que

\mathbb{R}^{3}=\operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Im} f

et que l'on peut trouver une base dans laquelle

f

a pour matrice

A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & -1 & 0\end{array}\right)

.

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Maths

Algèbre

Difficulté 4

Soit

E

un espace vectoriel réel de dimension finie

n \geq 2

.
(a) Indiquer des endomorphismes de

E

dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de

E

.
(b) Soit

\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)

une base de

E

. Montrer que pour tout

i \in\{2, \ldots, n\}

, la famille

\left(e_{1}+e_{i}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right)

est une base de

E

.
(c) Déterminer tous les endomorphismes de

E

dont la représentation matricielle est diagonale dans toutes les bases de

E

.
(d) Quels sont les endomorphismes de

E

dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de

E

?

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Maths

Algèbre

Difficulté 4

Soit

\omega

une racine primitive

n

-ième de 1 . On pose

F_{\omega}(P)=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=0}^{n-1} P\left(\omega^{k}\right) X^{k}

pour tout

P \in \mathbb{C}_{n-1}[X]

.
Montrer que

F_{\omega}

est un automorphisme de

\mathbb{C}_{n-1}[X]

et exprimer son inverse.

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Maths

Algèbre

Difficulté 3

Soient

f, g \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right)

tel que

f^{2}=g^{2}=0

et

f \circ g=g \circ f

.
Calculer

f \circ g

.

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Maths

Algèbre

Difficulté 3

Soit

A \in \mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{R})

.
a) Existe-t-il une matrice

M \in \mathcal{M}_{p, n}(\mathbb{R})

vérifiant

A=A M A

?

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Maths

Algèbre

Difficulté 4

Soient

A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

.
(a) Justifier qu'il existe

U, V \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})

tels que

\operatorname{rg}(U A+B V)=\min (n, \operatorname{rg} A+\operatorname{rg} B) .

(b) On suppose

\operatorname{rg} A+\operatorname{rg} B \geq n

. Montrer qu'il existe

U, V \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})

tels que

U A+B V \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})

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Maths

Algèbre

Difficulté 4

(a) Montrer qu'une matrice

A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

est non inversible si, et seulement si, elle est équivalente à une matrice nilpotente.
(b) Soit

f: \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) \rightarrow \mathbb{K}

une application vérifiant :

f\left(\mathrm{O}_{n}\right)=0, f\left(\mathrm{I}_{n}\right) \neq 0

et pour tout

A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

.

f(A B)=f(A) f(B)

Montrer que

A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

est inversible si, et seulement si,

f(A) \neq 0

.

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Maths

Algèbre

Difficulté 5

Soit

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel muni d'une base

\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)

.
Soit

f

l'endomorphisme de

E

dont la matrice dans

\mathcal{B}

est

A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -2 & 2 \\1 & 2 & 0 \\1 & 1 & 1\end{array}\right)

(a) Montrer qu'il existe une base

\mathcal{C}=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right)

de

E

dans laquelle la matrice représentative de

f

est une matrice diagonale

D

de coefficients diagonaux : 1,2 et 3 .
(b) Déterminer la matrice de passage

P

de

\mathcal{B}

à

\mathcal{C}

. Calculer

P^{-1}

.
(c) Quelle relation lie les matrices

A, D, P

et

P^{-1}

?
(d) Calculer

A^{n}

pour tout

n \in \mathbb{N}

.

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Maths

Algèbre

Difficulté 3

Soit

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension 3 muni d'une base

\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)

.
Soit

f \in \mathcal{L}(E)

dont la matrice dans la base

\mathcal{B}

est

A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & 1 \\-1 & 2 & 1 \\0 & 1 & 1\end{array}\right)

On pose

\varepsilon_{1}=e_{1}+e_{3}, \varepsilon_{2}=e_{1}+e_{2}

et

\varepsilon_{3}=e_{1}+e_{2}+e_{3}

.
(a) Montrer que

\mathcal{B}^{\prime}=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right)

forme une base de

E

et déterminer la matrice de

f

dans

\mathcal{B}^{\prime}

.
(b) Calculer

A^{n}

.

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Maths

Algèbre

Difficulté 3

Soit

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension 3 muni d'une base

e=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)

.
Soit

f \in \mathcal{L}(E)

dont la matrice dans la base

e

est

A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\0 & 1 & 0 \\-1 & 1 & 2\end{array}\right)

On pose

e_{1}^{\prime}=e_{1}+e_{3}, e_{2}^{\prime}=e_{1}+e_{2}

et

e_{3}^{\prime}=e_{1}+e_{2}+e_{3}

.
(a) Montrer que la famille

e^{\prime}=\left(e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, e_{3}^{\prime}\right)

forme une base de

E

et déterminer la matrice

B

de

f

dans

e^{\prime}

.
(b) Calculer

A^{n}

.

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Maths

Algèbre

Difficulté 3

Soient

b=(i, j)

et

B=(I, J)

deux bases d'un

\mathbb{R}

-espace vectoriel de dimension 2 et

P

la matrice de passage de

b

à

B

.
Pour

x \in E

, notons

v=\operatorname{Mat}_{b} x \text { et } V=\operatorname{Mat}_{B} x .

(a) Retrouver la relation entre

v

et

V

.
(b) Soient

f \in \mathcal{L}(E)

et

m=\operatorname{Mat}_{b} f \text { et } M=\operatorname{Mat}_{B} f \text {. }

Retrouver la relation entre

m

et

M

.
(c) Par quelle méthode peut-on calculer

m^{n}

lorsqu'on connaît deux vecteurs propres non colinéaires de

f

.

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Maths

Algèbre

Difficulté 3

Soit

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension 3 et

\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)

une base de

E

.
On considère les matrices

A=\left(\begin{array}{ccc}4 & -2 & -2 \\1 & 0 & -1 \\3 & -2 & -1\end{array}\right) \text { et } D=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2\end{array}\right)

Soit

f

l'endomorphisme de

E

dont la matrice dans la base

\mathcal{B}

est

A

.
(a) Montrer qu'il existe une base

\mathcal{C}=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right)

de

E

telle que la matrice de

f

dans

\mathcal{C}

soit

D

(b) Déterminer la matrice

P

de

\mathrm{GL}_{3}(\mathbb{R})

telle que

A=P D P^{-1}

. Calculer

P^{-1}

.
(c) Calculer

A^{n}

pour tout

n \in \mathbb{N}

.
(d) En déduire le terme général des suites

\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}

et

\left(z_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}

définies par :

\left\{\begin{array}{r}x_{0}=1 \\y_{0}=0 \\z_{0}=0\end{array} \text { et } \forall n \in \mathbb{N},\left\{\begin{array}{r}x_{n+1}=4 x_{n}-2\left(y_{n}+z_{n}\right) \\y_{n+1}=x_{n}-z_{n} \\z_{n+1}=3 x_{n}-2 y_{n}-z_{n}\end{array}\right.\right.

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Maths

Algèbre

Difficulté 3

Soit

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel muni d'une base

\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)

.
Soit

f

l'endomorphisme de

E

dont la matrice dans

\mathcal{B}

est

A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\-2 & 1 & -2 \\1 & 1 & 3\end{array}\right)

Soit

\mathcal{B}^{\prime}=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right)

la famille définie par

\left\{\begin{array}{r}\varepsilon_{1}=e_{1}+e_{2}-e_{3} \\ \varepsilon_{2}=e_{1}-e_{3} \\ \varepsilon_{3}=e_{1}-e_{2}\end{array}\right.

(a) Montrer que

\mathcal{B}^{\prime}

est une base de

E

et former la matrice

D

de

f

dans

\mathcal{B}^{\prime}

.
(b) Exprimer la matrice de passage

P

de

\mathcal{B}

à

\mathcal{B}^{\prime}

et calculer

P^{-1}

.
(c) Quelle relation lie les matrices

A, D, P

et

P^{-1}

?
(d) Calculer

A^{n}

pour tout

n \in \mathbb{N}

.

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Maths

Algèbre

Difficulté 3

Soit

f \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right)

représenté dans la base canonique

\mathcal{B}

par :

\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\0 & 1 & 0 \\1 & 1 & 0\end{array}\right)

(a) Soit

\mathcal{C}=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right)

avec

\varepsilon_{1}=(1,0,1), \varepsilon_{2}=(-1,1,0), \varepsilon_{3}=(1,1,1)

. Montrer que

\mathcal{C}

est une base.
(b) Déterminer la matrice de

f

dans

\mathcal{C}

.
(c) Calculer la matrice de

f^{n}

dans

\mathcal{B}

pour tout

n \in \mathbb{N}

.

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Maths

Algèbre

Difficulté 2

Soit

A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & -3 \\-1 & 1 & 1 \\1 & 1 & -1\end{array}\right)

On note

\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)

la base canonique de

\mathbb{R}^{3}

.
Soit

f

l'endomorphisme de

\mathbb{R}^{3}

dont la matrice dans

\mathcal{B}

est

A

. On pose

\varepsilon_{1}=(1,1,1), \varepsilon_{2}=(1,-1,0), \varepsilon_{3}=(1,0,1)

et

\mathcal{B}^{\prime}=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right)

. (a) Montrer que

\mathcal{B}^{\prime}

constitue une base de

\mathbb{R}^{3}

.
(b) Écrire la matrice de

f

dans cette base.
(c) Déterminer une base de

\operatorname{Ker} f

et

\operatorname{Im} f

.

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