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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Quels sont les f∈L(Rn)f \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{n}\right) telles que f(Zn)=Znf\left(\mathbb{Z}^{n}\right)=\mathbb{Z}^{n} ?
a) Pour f:Rn→Rf : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, ff est une application linéaire.
b) Si je vois ff comme une matrice AA, quelle est la condition sur AA qui garantit f(Zn)=Znf\left(\mathbb{Z}^{n}\right)=\mathbb{Z}^{n} ?
c) Est-ce que cette condition est suffisante ?
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient u,v:Rn[X]→Rn[X]u, v: \mathbb{R}_{n}[X] \rightarrow \mathbb{R}_{n}[X] définies par u(P)=P(X+1) et v(P)=P(X−1)u(P)=P(X+1) \text { et } v(P)=P(X-1)
(a)(a) Calculer rg⁡(u−v)\operatorname{rg}(u-v) en utilisant sa matrice.
(b)(b) Retrouver ce résultat d'une autre manière.
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit ff un élément non nul de L(R3)\mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) vérifiantf3+f=0f^{3}+f=0.
Montrer que R3=Ker⁡f⊕Im⁡f\mathbb{R}^{3}=\operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Im} f et que l'on peut trouver une base dans laquelle ff a pour matrice A=(0000010−10)A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & -1 & 0\end{array}\right).
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit EE un espace vectoriel réel de dimension finie n≥2n \geq 2.
(a) Indiquer des endomorphismes de EE dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de EE.
(b) Soit (e1,…,en)\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right) une base de EE. Montrer que pour tout i∈{2,…,n}i \in\{2, \ldots, n\}, la famille (e1+ei,e2,…,en)\left(e_{1}+e_{i}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right) est une base de EE.
(c) Déterminer tous les endomorphismes de EE dont la représentation matricielle est diagonale dans toutes les bases de EE.
(d) Quels sont les endomorphismes de EE dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de EE?
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit ω\omega une racine primitive nn-ième de 1 . On pose
Fω(P)=1n∑k=0n−1P(ωk)XkF_{\omega}(P)=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=0}^{n-1} P\left(\omega^{k}\right) X^{k} pour tout P∈Cn−1[X]P \in \mathbb{C}_{n-1}[X].
Montrer que FωF_{\omega} est un automorphisme de Cn−1[X]\mathbb{C}_{n-1}[X] et exprimer son inverse.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient f,g∈L(R2)f, g \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) tel que f2=g2=0f^{2}=g^{2}=0
et f∘g=g∘ff \circ g=g \circ f.
Calculer f∘gf \circ g.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit A∈Mn,p(R)A \in \mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{R}).
a) Existe-t-il une matrice M∈Mp,n(R)M \in \mathcal{M}_{p, n}(\mathbb{R}) vérifiant A=AMAA=A M A ?
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient A,B∈Mn(K)A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}).
(a) Justifier qu'il existe U,V∈GLn(K)U, V \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K}) tels que
rg⁡(UA+BV)=min⁡(n,rg⁡A+rg⁡B).\operatorname{rg}(U A+B V)=\min (n, \operatorname{rg} A+\operatorname{rg} B) .
(b) On suppose rg⁡A+rg⁡B≥n\operatorname{rg} A+\operatorname{rg} B \geq n. Montrer qu'il existe U,V∈GLn(K)U, V \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K}) tels que
UA+BV∈GLn(R)U A+B V \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
(a) Montrer qu'une matrice A∈Mn(K)A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) est non inversible si, et seulement si, elle est équivalente à une matrice nilpotente.
(b) Soit f:Mn(K)→Kf: \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) \rightarrow \mathbb{K} une application vérifiant : f(On)=0,f(In)≠0f\left(\mathrm{O}_{n}\right)=0, f\left(\mathrm{I}_{n}\right) \neq 0 et pour tout A,B∈Mn(K)A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}).
f(AB)=f(A)f(B)f(A B)=f(A) f(B)
Montrer que A∈Mn(K)A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) est inversible si, et seulement si, f(A)≠0f(A) \neq 0.
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Maths
Algèbre
Difficulté 5
Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel muni d'une base B=(e1,e2,e3)\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right).
Soit ff l'endomorphisme de EE dont la matrice dans B\mathcal{B} est
A=(3−22120111)A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -2 & 2 \\1 & 2 & 0 \\1 & 1 & 1\end{array}\right)
(a) Montrer qu'il existe une base C=(ε1,ε2,ε3)\mathcal{C}=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right) de EE dans laquelle la matrice représentative de ff est une matrice diagonale DD de coefficients diagonaux : 1,2 et 3 .
(b) Déterminer la matrice de passage PP de B\mathcal{B} à C\mathcal{C}. Calculer P−1P^{-1}.
(c) Quelle relation lie les matrices A,D,PA, D, P et P−1P^{-1} ?
(d) Calculer AnA^{n} pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension 3 muni d'une base B=(e1,e2,e3)\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right).
Soit f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) dont la matrice dans la base B\mathcal{B} estA=(021−121011)A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & 1 \\-1 & 2 & 1 \\0 & 1 & 1\end{array}\right)
On pose ε1=e1+e3,ε2=e1+e2\varepsilon_{1}=e_{1}+e_{3}, \varepsilon_{2}=e_{1}+e_{2} et ε3=e1+e2+e3\varepsilon_{3}=e_{1}+e_{2}+e_{3}.
(a) Montrer que B′=(ε1,ε2,ε3)\mathcal{B}^{\prime}=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right) forme une base de EE et déterminer la matrice de ff dans B′\mathcal{B}^{\prime}.
(b) Calculer AnA^{n}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension 3 muni d'une base e=(e1,e2,e3)e=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right).
Soit f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) dont la matrice dans la base ee est A=(011010−112)A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\0 & 1 & 0 \\-1 & 1 & 2\end{array}\right)
On pose e1′=e1+e3,e2′=e1+e2e_{1}^{\prime}=e_{1}+e_{3}, e_{2}^{\prime}=e_{1}+e_{2} et e3′=e1+e2+e3e_{3}^{\prime}=e_{1}+e_{2}+e_{3}.
(a) Montrer que la famille e′=(e1′,e2′,e3′)e^{\prime}=\left(e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, e_{3}^{\prime}\right) forme une base de EE et déterminer la matrice BB de ff dans e′e^{\prime}.
(b) Calculer AnA^{n}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient b=(i,j)b=(i, j) et B=(I,J)B=(I, J) deux bases d'un R\mathbb{R}-espace vectoriel de dimension 2 et PP la matrice de passage de bb à BB.
Pour x∈Ex \in E, notons
v=Mat⁡bx et V=Mat⁡Bx.v=\operatorname{Mat}_{b} x \text { et } V=\operatorname{Mat}_{B} x .
(a) Retrouver la relation entre vv et VV.
(b) Soient f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) et
m=Mat⁡bf et M=Mat⁡Bf. m=\operatorname{Mat}_{b} f \text { et } M=\operatorname{Mat}_{B} f \text {. }
Retrouver la relation entre mm et MM.
(c) Par quelle méthode peut-on calculer mnm^{n} lorsqu'on connaît deux vecteurs propres non colinéaires de ff.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension 3 et B=(e1,e2,e3)\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) une base de EE.
On considère les matricesA=(4−2−210−13−2−1) et D=(000010002)A=\left(\begin{array}{ccc}4 & -2 & -2 \\1 & 0 & -1 \\3 & -2 & -1\end{array}\right) \text { et } D=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2\end{array}\right) Soit ff l'endomorphisme de EE dont la matrice dans la base B\mathcal{B} est AA.
(a) Montrer qu'il existe une base C=(ε1,ε2,ε3)\mathcal{C}=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right) de EE telle que la matrice de ff dans C\mathcal{C} soit DD
(b) Déterminer la matrice PP de GL3(R)\mathrm{GL}_{3}(\mathbb{R}) telle que A=PDP−1A=P D P^{-1}. Calculer P−1P^{-1}.
(c) Calculer AnA^{n} pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
(d) En déduire le terme général des suites (xn)n∈N,(yn)n∈N\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} et (zn)n∈N\left(z_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} définies par :{x0=1y0=0z0=0 et ∀n∈N,{xn+1=4xn−2(yn+zn)yn+1=xn−znzn+1=3xn−2yn−zn\left\{\begin{array}{r}x_{0}=1 \\y_{0}=0 \\z_{0}=0\end{array} \text { et } \forall n \in \mathbb{N},\left\{\begin{array}{r}x_{n+1}=4 x_{n}-2\left(y_{n}+z_{n}\right) \\y_{n+1}=x_{n}-z_{n} \\z_{n+1}=3 x_{n}-2 y_{n}-z_{n}\end{array}\right.\right.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel muni d'une base B=(e1,e2,e3)\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right).
Soit ff l'endomorphisme de EE dont la matrice dans B\mathcal{B} est A=(2−10−21−2113)A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\-2 & 1 & -2 \\1 & 1 & 3\end{array}\right) Soit B′=(ε1,ε2,ε3)\mathcal{B}^{\prime}=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right) la famille définie par {ε1=e1+e2−e3ε2=e1−e3ε3=e1−e2\left\{\begin{array}{r}\varepsilon_{1}=e_{1}+e_{2}-e_{3} \\ \varepsilon_{2}=e_{1}-e_{3} \\ \varepsilon_{3}=e_{1}-e_{2}\end{array}\right. (a) Montrer que B′\mathcal{B}^{\prime} est une base de EE et former la matrice DD de ff dans B′\mathcal{B}^{\prime}.
(b) Exprimer la matrice de passage PP de B\mathcal{B} à B′\mathcal{B}^{\prime} et calculer P−1P^{-1}.
(c) Quelle relation lie les matrices A,D,PA, D, P et P−1P^{-1} ?
(d) Calculer AnA^{n} pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit f∈L(R3)f \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) représenté dans la base canonique B\mathcal{B} par :(21−1010110)\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\0 & 1 & 0 \\1 & 1 & 0\end{array}\right)
(a) Soit C=(ε1,ε2,ε3)\mathcal{C}=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right) avec ε1=(1,0,1),ε2=(−1,1,0),ε3=(1,1,1)\varepsilon_{1}=(1,0,1), \varepsilon_{2}=(-1,1,0), \varepsilon_{3}=(1,1,1). Montrer que C\mathcal{C} est une base.
(b) Déterminer la matrice de ff dans C\mathcal{C}.
(c) Calculer la matrice de fnf^{n} dans B\mathcal{B} pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit A=(31−3−11111−1)A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & -3 \\-1 & 1 & 1 \\1 & 1 & -1\end{array}\right) On note B=(e1,e2,e3)\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) la base canonique de R3\mathbb{R}^{3}.
Soit ff l'endomorphisme de R3\mathbb{R}^{3} dont la matrice dans B\mathcal{B} est AA. On pose ε1=(1,1,1),ε2=(1,−1,0),ε3=(1,0,1)\varepsilon_{1}=(1,1,1), \varepsilon_{2}=(1,-1,0), \varepsilon_{3}=(1,0,1) et B′=(ε1,ε2,ε3)\mathcal{B}^{\prime}=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right). (a) Montrer que B′\mathcal{B}^{\prime} constitue une base de R3\mathbb{R}^{3}.
(b) Écrire la matrice de ff dans cette base.
(c) Déterminer une base de Ker⁡f\operatorname{Ker} f et Im⁡f\operatorname{Im} f.
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