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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit φ:]−1;+∞[→R\varphi:]-1 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R} la fonction définie par φ(s)=s−ln⁡(1+s)\varphi(s)=s-\ln (1+s) pour tout s>−1s>-1.
(a) Montrer que φ\varphi définit par restriction aux intervalles ]−1;0]]-1 ; 0] et [0;+∞[[0 ;+\infty[ une bijection φ−:]−1;0]→[0;+∞[\left.\left.\varphi_{-}:\right]-1 ; 0\right] \rightarrow\left[0 ;+\infty\left[\right.\right. et une bijection φ+:[0;+∞[→[0;+∞[\varphi_{+}:[0 ;+\infty[\rightarrow[0 ;+\infty[.
(b) Donner un équivalent de φ(s)\varphi(s) lorsque ss tend vers 0 et en déduire des équivalents des bijections réciproques φ+\varphi_{+}et φ−\varphi_{-}en 0 par valeurs supérieures.
(c) Former un développement asymptotique à trois termes de φ+\varphi_{+} et φ−\varphi_{-} en 0+0^{+}.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Former le développement asymptotique en +∞+\infty de l'expression considérée à la précision demandée :
(a) x+1\sqrt{x+1} à la précision 1/x3/21 / x^{3 / 2}.
(b) xln⁡(x+1)−(x+1)ln⁡xx \ln (x+1)-(x+1) \ln x à la précision 1/x21 / x^{2}.
(c) (x+1x)x\left(\frac{x+1}{x}\right)^{x} à la précision 1/x21 / x^{2}.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Former le développement asymptotique en 0 de l'expression considérée à la précision demandée :\\ (a) ln⁡(1+x)x\frac{\ln (1+x)}{\sqrt{x}} à la précision x5/2x^{5 / 2}\\ (b) xxx^{x} à la précision (xln⁡x)2(x \ln x)^{2}
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Soit f:]0;1[∪]1;+∞[→Rf:] 0 ; 1[\cup] 1 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R} l'application définie parf(x)=∫xx2dtln⁡tf(x)=\int_{x}^{x^{2}} \frac{\mathrm{d} t}{\ln t} (a)(a) Montrer que ff est convexe sur ]0;1[] 0 ; 1[ et ]1;+∞[] 1 ;+\infty[.
(b)(b) Montrer que, pour tout x>1x>1 on a:∫xx2x dttln⁡t≤∫xx2dtln⁡t≤∫xx2x2 dttln⁡t\int_{x}^{x^{2}} \frac{x \mathrm{~d} t}{t \ln t} \leq \int_{x}^{x^{2}} \frac{\mathrm{d} t}{\ln t} \leq \int_{x}^{x^{2}} \frac{x^{2} \mathrm{~d} t}{t \ln t} En déduire que lim⁡x→1+f(x)=ln⁡2\lim _{x \rightarrow 1+} f(x)=\ln 2. De même, établir : lim⁡x→1−f(x)=ln⁡2\lim _{x \rightarrow 1-} f(x)=\ln 2.
(c)(c) On prolonge ff par continuité en 1 , en posant f(1)=ln⁡2f(1)=\ln 2. Montrer que ff ainsi prolongée est de classe C2\mathcal{C}^{2} sur ]0;+∞[] 0 ;+\infty[. Établir la convexité de ff sur ]0;+∞[] 0 ;+\infty[.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} définie parf(x)={e−1/x2 si x≠00 sinon f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^{-1 / x^{2}} & \text { si } x \neq 0 \\ 0 & \text { sinon }\end{cases} \
Montrer que ff est de classe C∞\mathcal{C}^{\infty} et que pour tout n∈N,f(n)(0)=0.<br/>C′esticiunexempledefonctionnonnulledonttouslesn \in \mathbb{N}, f^{(n)}(0)=0.<br/> C'est ici un exemple de fonction non nulle dont tous les D L_{n}(0)$ sont nuls.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Montrer que la fonction
f:x↦xex−1f: x \mapsto \frac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}
peut être prolongée en une fonction de classe C1\mathcal{C}^{1} sur R\mathbb{R}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient aa un réel non nul et ff la fonction définie au voisinage de 0 par f(x)=ln⁡(1+ax)1+xf(x)=\frac{\ln (1+a x)}{1+x} Déterminer les éventuelles valeurs de aa pour lesquelles ff présente un point d'inflexion en 0.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit f:]−1;0[∪]0;+∞[→Rf:]-1 ; 0[\cup] 0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R} définie parf(x)=ln⁡(1+x)−xx2f(x)=\frac{\ln (1+x)-x}{x^{2}}
Montrer que ff peut être prolongée par continuité en 0 et que ce prolongement est alors dérivable en 0.
Quelle est alors la position relative de la courbe de ff par rapport à sa tangente en ce point?
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient n∈N,n≥2n \in \mathbb{N}, n \geq 2 et ff l'application de R\mathbb{R} dans R\mathbb{R} définie par\\ f(x)=xnsin⁡(1x) si x≠0 et f(0)=0. f(x)=x^{n} \sin \left(\frac{1}{x}\right) \text { si } x \neq 0 \text { et } f(0)=0 \text {. }\\ (a) Montrer que ff est dérivable sur R\mathbb{R}.\\ (b) ff admet-elle un développement limité en 0 ? si oui à quel ordre maximal?
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Montrer que l'application f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} définie par f(x)=xex2f(x)=x \mathrm{e}^{x^{2}} admet une application réciproque définie sur R\mathbb{R}
et former le DL5(0)D L_{5}(0) de f−1f^{-1}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Pour n∈Nn \in \mathbb{N}, déterminer le développement limité à l'ordre 2n+22 n+2 de x↦12ln⁡1+x1−xx \mapsto \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}.
On pourra commencer par calculer la dérivée de cette fonction.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Exprimer le développement limité général en 0 de arcsin⁡x\arcsin x.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Pour α=−1/2\alpha=-1 / 2 et k∈Nk \in \mathbb{N}, exprimerα(α−1)…(α−k+1)k!\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-k+1)}{k !}à l'aide de nombres factoriels.
En déduire une expression du DL2n+1(0)D L_{2 n+1}(0) de 11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
puis du DL2n+2(0)D L_{2 n+2}(0) de arcsin⁡(x)\arcsin (x).
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Exprimer le développement limité à l'ordre nn en 0 de 11−x\frac{1}{\sqrt{1-x}} à l'aide de nombres factoriels.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Déterminer les développements limités suivants :
(a) DL10(0)D L_{10}(0) de ∫xx2dt1+t4\int_{x}^{x^{2}} \frac{\mathrm{d} t}{\sqrt{1+t^{4}}}
(b) DL1000(0)de⁡ln⁡(∑k=0999xkk!)D L_{1000}(0) \operatorname{de} \ln \left(\sum_{k=0}^{999} \frac{x^{k}}{k !}\right)
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Maths
Analyse
Difficulté 3

Former le DL3(1)D L_{3}(1) de arctan⁡x\arctan x
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Déterminer les développements limités suivants :
(a) DL3(0)D L_{3}(0) de ln⁡(x2+1x+1)\ln \left(\frac{x^{2}+1}{x+1}\right)
(b) DL3(0)D L_{3}(0) de 3+cos⁡x\sqrt{3+\cos x}
(c) DL2(0)D L_{2}(0) de (1+x)1/x(1+x)^{1 / x}
(d) DL3(0)D L_{3}(0) de ln⁡(1+x)ex−1\frac{\ln (1+x)}{\mathrm{e}^{x}-1}
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Maths
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Difficulté 4
Déterminer les développements limités suivants :
(a) DL3(0)D L_{3}(0) de x−sin⁡x1−cos⁡x\frac{x-\sin x}{1-\cos x}
(b) DL2(0)D L_{2}(0) de sin⁡(x)exp⁡(x)−1\frac{\sin (x)}{\exp (x)-1}
(c) DL3(0)D L_{3}(0) de xch⁡x−sh⁡xch⁡x−1\frac{x \operatorname{ch} x-\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x-1}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Déterminer les développements limités suivants :
(a) DL3(0)D L_{3}(0) de ln⁡(1+x)ex−1\frac{\ln (1+x)}{\mathrm{e}^{x}-1}
(b) DL2(0)D L_{2}(0) de arctan⁡xtan⁡x\frac{\arctan x}{\tan x}
(c) DL2(1)D L_{2}(1) de x−1ln⁡x\frac{x-1}{\ln x}
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Déterminer les développements limités suivants :
(a) DL2(0)D L_{2}(0) de (1+x)1/x(1+x)^{1 / x}
(b) DL4(0)D L_{4}(0) de ln⁡(sin⁡xx)\ln \left(\frac{\sin x}{x}\right)
(c) DL4(0)D L_{4}(0) de ln⁡(sh⁡xx)\ln \left(\frac{\operatorname{sh} x}{x}\right)
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Déterminer les développements limités suivants :
(a) DL3(0)D L_{3}(0) de e1+x\mathrm{e}^{\sqrt{1+x}}
(b) DL3(0)D L_{3}(0) de ln⁡(1+1+x)\ln (1+\sqrt{1+x})
(c) DL3(0)D L_{3}(0) de ln⁡(3ex+e−x)\ln \left(3 \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Déterminer les développements limités suivants :
(a) DL3(0)D L_{3}(0) de ln⁡(1+ex)\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)
(b) DL3(0)D L_{3}(0) de ln⁡(2+sin⁡x)\ln (2+\sin x)
(c) DL3(0)D L_{3}(0) de 3+cos⁡x\sqrt{3+\cos x}
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Déterminer les développements limités suivants :
(a) DL3(0)D L_{3}(0) de ln⁡(x2+1x+1)\ln \left(\frac{x^{2}+1}{x+1}\right)
(b) DL3(0)D L_{3}(0) de ln⁡(1+sin⁡x)\ln (1+\sin x)
(c) DL3(1)D L_{3}(1) de cos⁡(ln⁡(x))\cos (\ln (x))
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Déterminer les développements limités suivants :
(a) DL3(π/4)D L_{3}(\pi / 4) de sin⁡x\sin x
(b) DL4(1)D L_{4}(1) de ln⁡xx2\frac{\ln x}{x^{2}}
(c) DL5(0)D L_{5}(0) de sh⁡xch⁡(2x)−ch⁡x\operatorname{sh} x \operatorname{ch}(2 x)-\operatorname{ch} x.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
On considère la suite (un)\left(u_{n}\right) définie pour n≥1n \geq 1 parun=n+(n−1)+⋯+2+1u_{n}=\sqrt{n+\sqrt{(n-1)+\cdots+\sqrt{2+\sqrt{1}}}}<br/>(a)Montrerque<br/> (a) Montrer que \left(u_{n}\right)divergevers diverge vers +\infty.<br/>(b)Exprimer.<br/> (b) Exprimer u_{n+1}enfonctionde en fonction de u_{n}.<br/>(c)Montrerque.<br/> (c) Montrer que u_{n} \leq npuisque puis que u_{n}=\mathrm{o}(n).<br/>(d)Donneruneˊquivalentsimplede.<br/> (d) Donner un équivalent simple de \left(u_{n}\right).<br/>(e)Deˊterminer.<br/> (e) Déterminer \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}-\sqrt{n}$.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
On étudie l'équation tan⁡x=x\tan x=x d'inconnue xx réelle.
(a) Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Montrer que cette équation possède une unique solution xnx_{n} dans l'intervalle In=]−π/2;π/2[+nπ\left.I_{n}=\right]-\pi / 2 ; \pi / 2[+n \pi.
(b) Déterminer un équivalent de la suite (xn)n∈N\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} ainsi définie.
(c) Réaliser un développement asymptotique à trois termes de xnx_{n}.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Soit f(x)=(cos⁡x)1/xf(x)=(\cos x)^{1 / x} et (C)(\mathcal{C}) le graphe de ff.
(a) Montrer l'existence d'une suite (xn)\left(x_{n}\right) vérifiant :
(b) (xn)\left(x_{n}\right) est croissante positive.
ii) la tangente à (C)(\mathcal{C}) en (xn,f(xn))\left(x_{n}, f\left(x_{n}\right)\right) passe par OO.
(c) Déterminer un développement asymptotique à 2 termes de (xn)\left(x_{n}\right).
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Maths
Analyse
Difficulté 4
(a) Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Montrer que l'équation xn+ln⁡x=0x^{n}+\ln x=0 possède une unique solution xn>0x_{n}>0.
(b) Déterminer la limite de xnx_{n}.
(c) On pose un=1−xnu_{n}=1-x_{n}. Justifier que nun∼−ln⁡unn u_{n} \sim-\ln u_{n} puis déterminer un équivalent de unu_{n}.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Pour n≥2n \geq 2, on considère le polynômePn=Xn−nX+1P_{n}=X^{n}-n X+1
(a) Montrer que PnP_{n} admet exactement une racine réelle entre 0 et 1 , notée xnx_{n}.
(b) Déterminer la limite de xnx_{n} lorsque n→+∞n \rightarrow+\infty.
(c) Donner un équivalent de (xn)\left(x_{n}\right) puis le deuxième terme du développement asymptotique xnx_{n}.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Pour tout entier n≥2n \geq 2, on considère l'équation (En):xn=x+1\left(E_{n}\right): x^{n}=x+1 dont l'inconnue est x≥0x \geq 0.
(a) Montrer l'existence et l'unicité de xnx_{n} solution de (En)\left(E_{n}\right).
(b) Montrer que (xn)\left(x_{n}\right) tend vers 1.
(c) Montrer que (xn)\left(x_{n}\right) admet un développement limité à tout ordre.
Donner les trois premiers termes de ce développement limité.
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Difficulté 3
Montrer que l'équation xn+x2−1=0x^{n}+x^{2}-1=0 admet une unique racine réelle strictement positive pour n≥1n \geq 1.
On la note xnx_{n}.
Déterminer la limite ℓ\ell de la suite (xn)\left(x_{n}\right)
puis un équivalent de xn−ℓx_{n}-\ell.
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Maths
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Difficulté 4
Résultat : Soient n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} et l'équation(En):xn+x−1=0.\left(E_{n}\right): x^{n}+x-1=0. (a)(a) Montrer qu'il existe une unique solution positive de (En)\left(E_{n}\right) notée xnx_{n} et que lim⁡n→+∞xn=1.\lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=1. (b)(b) On pose yn=1−xny_{n}=1-x_{n}. Montrer que, pour nn assez grand,ln⁡n2n≤yn≤2ln⁡nn\frac{\ln n}{2 n} \leq y_{n} \leq 2 \frac{\ln n}{n} (on posera fn(y)=nln⁡(1−y)−ln⁡(y)f_{n}(y)=n \ln (1-y)-\ln (y) ). (c)(c) Montrer que ln⁡(yn)∼−ln⁡n\ln \left(y_{n}\right) \sim-\ln n puis que xn=1−ln⁡nn+o(ln⁡nn)x_{n}=1-\frac{\ln n}{n}+\mathrm{o}\left(\frac{\ln n}{n}\right)
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Maths
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Difficulté 3
Montrer que l'équation tan⁡x=x\tan x=\sqrt{x} possède une unique solution xnx_{n} dans chaque intervalle In=]−π/2;π/2[+nπ(\left.I_{n}=\right]-\pi / 2 ; \pi / 2\left[+n \pi\left(\right.\right. avec n∈N∗)\left.n \in \mathbb{N}^{*}\right).
Réaliser un développement asymptotique à quatre termes de xnx_{n}.
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Difficulté 4
(a) Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, justifier que l'équation
x+ex=nx+\mathrm{e}^{x}=n
possède une unique solution xn∈Rx_{n} \in \mathbb{R}.
(b) Déterminer la limite de (xn)\left(x_{n}\right) puis un équivalent de xnx_{n}
(c) Former un développement asymptotique à trois termes de xnx_{n} quand n→+∞n \rightarrow+\infty.
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Difficulté 3
Soit f:]0;+∞[→Rf:] 0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R} la fonction définie par f(x)=ln⁡x+xf(x)=\ln x+x
(a) Montrer que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, il existe un unique xnx_{n} tel que f(xn)=nf\left(x_{n}\right)=n.
\begin{enumerate} \item Il s'agit de la constante d'Euler, γ=0.577\gamma=0.577 à 10−310^{-3} près.
(b) Former le développement asymptotique de la suite (xn)n∈N\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} à la précision (ln⁡n/n)(\ln n / n). \end{enumerate}
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Difficulté 3
Soit nn un entier naturel et EnE_{n} l'équation x+ln⁡x=nx+\ln x=n d'inconnue x∈R+∗x \in \mathbb{R}_{+}^{*}.
(a) Montrer que l'équation EnE_{n} possède une solution unique notée xnx_{n}.
(b) Montrer que la suite (xn)\left(x_{n}\right) diverge vers +∞+\infty.
(c) Donner un équivalent simple de la suite (xn)\left(x_{n}\right).
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Difficulté 3
Pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}, on pose an=∑k=1n1k−ln⁡(n+1) et bn=∑k=1n1k−ln⁡(n) a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln (n+1) \quad \text { et } \quad b_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln (n) \\ (a) Établir que ln⁡(1+x)≤x\ln (1+x) \leq x pour tout x∈]−1;+∞x \in]-1 ;+\infty
(b) Justifier que les suites (an)n≥1\left(a_{n}\right)_{n \geq 1} et (bn)n≥1\left(b_{n}\right)_{n \geq 1} sont adjacentes. On note γ\gamma leur limite commune 1{ }^{1}
(a) Justifier le développement ∑k=1n1k=n→+∞ln⁡(n)+γ+o(1) \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \underset{n \rightarrow+\infty}{=} \ln (n)+\gamma+\mathrm{o}(1)
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Difficulté 3
Donner un développement asymptotique de
(1n!∑k=0nk!)n∈N\left(\frac{1}{n !} \sum_{k=0}^{n} k !\right)_{n \in \mathbb{N}}
à la précision
o(n−3)\mathrm{o}\left(n^{-3}\right).
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Difficulté 4
Former le développement asymptotique, en +∞+\infty, à la précision 1/n21 / n^{2} de un=1n!∑k=0nk!u_{n}=\frac{1}{n !} \sum_{k=0}^{n} k ! devient : Former le développement asymptotique, en +∞+ \infty, \\ à la précision 1/n21 / n^{2} de \\ un=1n!∑k=0nk!u_{n}=\frac{1}{n !} \sum_{k=0}^{n} k !
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Difficulté 4
Développement asymptotique à trois termes de :un=∑k=1nsin⁡kn2u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \sin \frac{k}{n^{2}} a)
b)
c)
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Difficulté 5
Réaliser un développement asymptotique de la suite considérée à la précision demandée :
(a) un=ln⁡(n+1)u_{n}=\ln (n+1) à la précision 1/n21 / n^{2}
(b) un=n+1−n−1u_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1} à la précision 1/n21 / n^{2}
(c) un=n+n−nu_{n}=\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n} à la précision 1/n1 / n
(d) un=(1+1n)nu_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} à la précision 1/n21 / n^{2}.
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