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Maths
Géométrie
Difficulté 4
On consideˋre un triangle ABCrectangle en A, les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [AC]et le point H est le projeteˊorthogonal de A sur [BC] 1. Deˊvelopper le produit scalaire (HAundefined+ABundefined)⋅(HAundefined+ACundefined)2. En deˊduire que : HBundefined⋅HCundefined=−HA23. Deˊvelopper le produit scalaire(HAundefined+HBundefined)⋅(HAundefined+HCundefined)4. Deˊmontrer que HAundefined+HBundefined=2Hundefined5. En deˊduire que Hundefined⋅HundefinedJ⃗=0\text{On considère un triangle ABC}\\\text{rectangle en A,}\text{ les points I et J}\text{ sont les }\\\text{milieux respectifs des segments }[AB]\text{ et }[AC]\\\text{et le point }H\text{ est le projeté}\\\text{orthogonal de A sur }[BC]\\ \ \\\text{1. Développer le produit scalaire }\\(\overrightarrow{\mathrm{HA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{HA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}})\\\text{2. En déduire que : } \overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=-\mathrm{HA}^2\\\text{3. Développer le produit scalaire}\\(\overrightarrow{\mathrm{HA}}+\overrightarrow{\mathrm{HB}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{HA}}+\overrightarrow{\mathrm{HC}})\\\text{4. Démontrer que } \overrightarrow{\mathrm{HA}}+\overrightarrow{\mathrm{HB}}=2 \overrightarrow{\mathrm{H}}\\\text{5. En déduire que }\overrightarrow{\mathrm{H}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{H}} \vec{J}=0.
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Maths
Géométrie
Difficulté 4
On consideˋre les points : A(4;−1),B(−3;−1) et C(−1;3) 1. Calculer le produit scalaire ABundefined⋅ACundefined2. On appelle H le projeteˊ orthogonal deC sur la droite (AB).En calculant autrement aˋ l’aide du point Hle produit scalaire ABundefined⋅ACundefined En deˊduire la longueur AH3. Donner une valeur en degreˊs, arrondie aˋ 0,1 preˋs, de l’angle BACundefined\text{On considère les points : }\\A(4 ;-1),B(-3 ;-1)\text{ et }C(-1 ; 3)\\ \ \\\text{1. Calculer le produit scalaire }\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\\\text{2. On appelle }\mathrm{H}\text{ le projeté orthogonal de}\\\mathrm{C}\text{ sur la droite (AB).}\\\text{En calculant autrement à l'aide du point H}\\\text{le produit scalaire }\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\\\text{ En déduire la longueur }\mathrm{AH}\\\text{3. Donner une valeur en degrés, arrondie à 0,1 près, de l'angle }\widehat{B A C}
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Maths
Géométrie
Difficulté 2
Soit les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} orthogonaux et tels que ∥u⃗∥=a\|\vec{u}\|=a et ∥v⃗∥=b\|\vec{v}\|=b. Exprimer en fonction de aa et de bb les produits scalaires suivants. a) u⃗⋅(u⃗+v⃗)\vec{u} \cdot(\vec{u}+\vec{v}) b) (2u⃗−3v⃗)⋅v⃗(2 \vec{u}-3 \vec{v}) \cdot \vec{v} c) (u⃗+v⃗)2(\vec{u}+\vec{v})^2
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Maths
Géométrie
Difficulté 3
Soit un triangle EDF\mathrm{EDF} tel que EF=5\mathrm{EF}=5, DF=8\mathrm{DF}=8 et ED=9\mathrm{ED}=9.
Déterminer la valeur en degrés et arrondie à 0,1∘0,1^{\circ} de l'angle EDFundefined\widehat{\mathrm{EDF}} .
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Maths
Géométrie
Difficulté 2
Soit les vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{c}2 1\right),\vec v\left(\begin{array}{c}-3 -1\right) et \vec{w}\left(\begin{array}{c}1 4\right).
Calculer les produits scalaires suivants. a) u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} b) w⃗⋅v⃗\vec{w} \cdot \vec{v} c) u⃗⋅(v⃗+w⃗)\vec{u} \cdot(\vec{v}+\vec{w}) d) (−2u⃗)⋅v⃗+3(v⃗⋅w⃗)(-2 \vec{u}) \cdot \vec{v}+3(\vec{v} \cdot \vec{w})
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Maths
Géométrie
Difficulté 3
Le triangle ABC\mathrm{ABC} où A(0;−2)\mathrm{A}(0 ;-2), B(−1;1)\mathrm{B}(-1 ; 1) et C(2;2)\mathrm{C}(2 ; 2) est-il un triangle rectangle ?
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Maths
Géométrie
Difficulté 3
Dans un triangle équilatéral ABC\mathrm{A B C} de côté 66 , calculer les produits scalaires suivants. a) ABundefined⋅ACundefined\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} b) ABundefined⋅CAundefined\overrightarrow{\mathrm{A B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} c) ACundefined⋅BAundefined\overrightarrow{\mathrm{A C}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B A}}
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