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Maths
Fonctions
Difficulté 2
Soit f la fonction deˊfiniesur R par :f:x↦1x2+x+1−7x3+6x2 Aˋ l’aide de votre calculatrice,conjecturer le tableau devariation def sur R.\text{Soit }f\text{ la fonction définie}\\\text{sur }\R\text{ par :}\\f:x\mapsto\large\frac{1}{x^2+x+1}\normalsize-7x^3+6x^2\\ \ \\\text{À l'aide de votre calculatrice,}\\\text{conjecturer le tableau de}\\\text{variation de}f\text{ sur }\R.
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Maths
Fonctions
Difficulté 2
Soit f la fonction deˊfiniesur R par :f:x↦x2−8x+3 1. Montrer quef(x)=(x−4)2−13.2. Calculer f(5) et f(1).3. Montrer que f(x)≥−13pour tout x reˊel.4. En deˊduire que f admet unminimum sur R et preˊciser savaleur.5. Pour quelle(s) valeur(s) dex ce minimum est-il atteint ?\text{Soit }f\text{ la fonction définie}\\\text{sur }\R\text{ par :}\\f:x\mapsto x^2-8x+3\\ \ \\1.\text{ Montrer que}\\f(x)=(x-4)^2-13.\\2.\text{ Calculer }f(5)\text{ et }f(1).\\3.\text{ Montrer que }f(x)\ge -13\\\text{pour tout }x\text{ réel.}\\4.\text{ En déduire que }f\text{ admet un}\\\text{minimum sur }\R\text{ et préciser sa}\\\text{valeur.}\\5.\text{ Pour quelle(s) valeur(s) de}\\x\text{ ce minimum est-il atteint ?}
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Maths
Fonctions
Difficulté 3
Deˊmontrer que pour tous reˊelspositifs a,b et c, on a : a+b≤a+b\text{Démontrer que pour tous réels}\\\text{positifs }a,b\text{ et }c,\text{ on a :}\\ \ \\ \sqrt{a+b}\le\sqrt{a}+\sqrt{b}
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Maths
Fonctions
Difficulté 4
Soit x et y deux nombresreˊels positifs.La moyenne arithmeˊtique deces nombres est xA=x+y2La moyenne geˊomeˊtrique deces deux nombres reˊels estdonneˊe par xG=xy. 1. Montrer que(x+y2)2−xy2=(x−y2)2. 2. Justifier que (x+y2)2≥xy2. 3. Comparer les deux moyennes.\text{Soit }x\text{ et }y\text{ deux nombres}\\\text{réels positifs.}\\\text{La moyenne arithmétique de}\\\text{ces nombres est }x_{A}=\large\frac{x+y}{2}\normalsize\\\text{La moyenne géométrique de}\\\text{ces deux nombres réels est}\\\text{donnée par }x_G=\sqrt{xy}.\\ \ \\1.\text{ Montrer que}\\ (\frac{x+y}{2})^2-\sqrt{xy}^2=(\frac{x-y}{2})^2.\\ \ \\2.\text{ Justifier que }(\frac{x+y}{2})^2\ge\sqrt{xy}^2.\\ \ \\3.\text{ Comparer les deux moyennes.}
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Maths
Fonctions
Difficulté 4
Une joueuse de handball lanceune balle devant elle. Au bout dex meˋtres parcourus, la hauteur dela balle (en meˋtres) avant qu’ellene touche le sol est donneˊe par : h(x)=−0,05x2+0,9x+2. 1. Quelle est la hauteur de la balleapreˋs 20 meˋtres parcourus ? Quepeut-on en deˊduire pour la balle ? 2.(a) Montrer queh(x)=−0,05(x−9)2+6,05. (b) En deˊduire la hauteurmaximale atteinte par la balle.\text{Une joueuse de handball lance}\\\text{une balle devant elle.}\text{ Au bout de}\\ x\text{ mètres parcourus, la hauteur de}\\\text{la balle (en mètres) avant qu'elle}\\\text{ne touche le sol est donnée par :}\\ \ \\h(x)=-0,05x^2+0,9x+2.\\ \ \\1.\text{ Quelle est la hauteur de la balle}\\\text{après 20 mètres parcourus ? Que}\\\text{peut-on en déduire pour la balle ?}\\ \ \\2. (a)\text{ Montrer que}\\h(x)=-0,05(x-9)^2+6,05.\\ \ \\ (b)\text{ En déduire la hauteur}\\\text{maximale atteinte par la balle.}
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Maths
Fonctions
Difficulté 3
Comparer (2−2)7 et(2−3)7 en justifiant.\text{Comparer }(2-\sqrt{2})^7\text{ et}\\ (2-\sqrt{3})^7\text{ en justifiant.}
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Maths
Fonctions
Difficulté 2
En utilisant les variations de la fonction cube, comparer les nombres suivants :
\quad. 4,234,2^3 et 5,135,1^3
\quad. (−2,4)3(-2,4)^3 et (−1,3)3(-1,3)^3
\quad. 23\sqrt{2}^3 et (14)3\left(\frac{1}{4}\right)^3
\quad. (−10)3(-10)^3 et 232^3
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Maths
Fonctions
Difficulté 3
Soit ff une fonction définie sur R\mathbb{R}. Vrai/Faux (1) Si ff n'est pas strictement croissante sur R\mathbb{R} alors elle est strictement décroissante sur R\mathbb{R}. (2) Si ∀x∈R,f(x)>0\forall x \in \mathbb{R}, f(x)>0 alors ff est strictement croissante sur R\mathbb{R}. (3) Si ff est strictement croissante sur R\mathbb{R} alors ∀x<3,f(x)<f(3)\forall x<3, f(x)<f(3). (4) Si ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, f(x) ≤5\leq 5 alors 5 est le maximum de ff. (5) Si ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, f(x) ≤f(5)\leq f(5) alors f(5)f(5) est le maximum de ff. (6) Si ∀x<5,f(x)<f(5)\forall x<5, f(x)<f(5) alors ff est strictement croissante sur ]−∞;5]]-\infty; 5].
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Maths
Fonctions
Difficulté 1
Dans chacun des cas, indiquer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la fonction ff et préciser, en justifiant, le sens de variation de la fonction.
\quad. f(x)=3x+5f(x)=3 x+5
\quad. f(x)=−2x−7,5f(x)=-2 x-7,5
\quad. f(x)=−57x+0,9f(x)=-\frac{5}{7} x+0,9
\quad. f(x)=2−3xf(x)=2-3 x
\quad. f(x)=−3+12xf(x)=-3+\frac{1}{2} x
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Maths
Fonctions
Difficulté 1
\quad. Dresser le tableau de variation d'une fonction ff sachant que :
\quad. ff est définie sur l'intervalle [−2;5][-2 ; 5];
\quad. ff est décroissante sur l'intervalle [−2;0][-2 ; 0];
\quad. ff est croissante sur l'intervalle [0;2][0 ; 2];
\quad. ff est décroissante sur l'intervalle [2;5][2 ; 5];
\quad. l'image de 0 est -3 et f(2)=2f(2)=2;
\quad. la courbe de ff coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses -2 ; 1 et 5 .
\quad. Tracer une courbe représentant la fonction ff.
\quad. Donner un intervalle sur lequel cette fonction est négative.
\quad. Peut-on comparer l'image de 0,5 à celle de 1,5 ?
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