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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 4
On cherche aˋ reˊsoudrel’eˊquation (E):(E):11x2−7y2=5. L’objectif de cet exercice est demontrer que l’eˊquation (E) n’admetpas de solution entieˋre.On suppose qu’il existe unesolution (x;y) de (E): 1. Montrer que (E) peut se mettresous la forme :x2≡2y2[5].On pourra raisonner modulo 5. 2. Deˊterminer aˋ quoi sont congrusx2 et 2y2 en fonction de x modulo5 et y modulo 5. 3. Montrer que x et y sont desmultiples de 5. 4. Conclure.\text{On cherche à résoudre}\\\text{l'équation }(E):\\\quad (E):11x^2-7y^2=5.\\ \ \\\text{L'objectif de cet exercice est de}\\\text{montrer que l'équation }(E)\text{ n'admet}\\\text{pas de solution entière.}\\\text{On suppose qu'il existe une}\\\text{solution }(x;y)\text{ de }(E):\\ \ \\1.\text{ Montrer que }(E)\text{ peut se mettre}\\\text{sous la forme :}\quad x^2\equiv 2y^2[5].\\\text{On pourra raisonner modulo 5.}\\ \ \\2.\text{ Déterminer à quoi sont congrus}\\x^2\text{ et }2y^2\text{ en fonction de }x\text{ modulo}\\5\text{ et }y\text{ modulo 5.}\\ \ \\3.\text{ Montrer que }x\text{ et }y\text{ sont des}\\\text{multiples de 5.}\\ \ \\4.\text{ Conclure.}
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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 4
On cherche aˋ deˊterminer un criteˋre de divisibiliteˊ par 7.On admet le reˊsultat suivant : Soit n∈N. On consideˋre la diffeˊ-rence entre le double du chiffredes uniteˊs de n et le nombre formeˊpar les autres chiffres de n.n est divisible par 7 si et seule-ment si cette diffeˊrence estdivisible par 7. 1. Deˊterminer en appliquant cecriteˋre si 4361 est divisible par 7. 2. Meˆme question avec 542. 3. Dans cette question, on sepropose de deˊmontrer ce criteˋredans le cas d’un nombre n aˋ troischiffres. On note alors :n=abc‾ avec a diffeˊrent de 0 a. Montrer que n≡2a+3b+c[7] b. On appelle m la diffeˊrence deˊcrite dans le criteˋre. Montrer que m≡2a+3b−2c[7] c. En deˊduire que n−3m≡0[7] et m+2n≡0[7] d. En deˊduire que m≡0[7] si et seulement si n≡0[7]\text{On cherche à déterminer un }\\\text{critère de divisibilité par 7.}\\\text{On admet le résultat suivant :}\\ \ \\\text{Soit }n\in\mathbb{N}.\text{ On considère la diffé-}\\\text{rence entre le double du chiffre}\\\text{des unités de }n\text{ et le nombre formé}\\\text{par les autres chiffres de }n.\\n\text{ est divisible par 7 si et seule-}\\\text{ment si cette différence est}\\\text{divisible par 7.}\\ \ \\1.\text{ Déterminer en appliquant ce}\\\text{critère si 4361 est divisible par 7.}\\ \ \\2.\text{ Même question avec 542.}\\ \ \\3.\text{ Dans cette question, on se}\\\text{propose de démontrer ce critère}\\\text{dans le cas d'un nombre }n\text{ à trois}\\\text{chiffres. On note alors :}\\n=\overline{abc}\text{ avec }a\text{ différent de }0\\ ~a.\text{ Montrer que }n\equiv\normalsize2a+3b+c[7]\\ ~b.\text{ On appelle }m\text{ la différence}\\ ~\text{décrite dans le critère. Montrer}\\ ~\text{que }m\equiv\normalsize2a+3b-2c[7]\\ ~c.\text{ En déduire que }n-3m\equiv\normalsize0[7]\\ ~\text{et }m+2n\equiv\normalsize0[7]\\ ~d.\text{ En déduire que }m\equiv\normalsize0[7]\text{ si et}\\ ~\text{seulement si }n\equiv\normalsize0[7]
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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 2
Deˊterminer le reste de la divisioneuclidienne de 20122012 par 11.\text{Déterminer le reste de la division}\\\text{euclidienne de }2012^{2012}\text{ par }11.
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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 3
1. Montrer que si un entier natureld divise (12n+7) et (3n+1) alors,il divise 3. 2.  En deˊduire que la fraction 12n+73n+1est irreˊductible.1.\,\text{Montrer que si un entier naturel}\\d\text{ divise }(12n+7)\text{ et }(3n+1)\text{ alors,}\\\text{il divise }3.\\ \ \\2.\,\text{ En déduire que la fraction }\large\frac{12n+7}{3n+1}\\\normalsize\text{est irréductible.}
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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 4
1. Donner la liste des diviseurs de20 dans N. 2. En deˊduire tous les couplesd’entiers naturels (x;y) veˊrifiant :4x2−y2=201.\,\text{Donner la liste des diviseurs de}\\20\text{ dans }\mathbb{N}.\\ \ \\2.\,\text{En déduire tous les couples}\\\text{d'entiers naturels }(x;y)\text{ vérifiant :}\\4x^2-y^2=20
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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 3
1. Deˊterminer, suivant les valeursde n, les restes possibles de 2ndans la division par 9. 2. En deˊduire les entiers n tels que2n−1 est divisible par 9.1.\,\text{Déterminer, suivant les valeurs}\\\text{de }n\text{, }\text{les restes possibles de }2^n\\\text{dans }\text{la division par }9.\\ \ \\2.\,\text{En déduire les entiers }n\text{ tels que}\\2^n-1\text{ est divisible par }9.
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