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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 4
Soit (un) la suite deˊfinie par :{u0=0∀n∈N,un+1=4un+1 1. Calculer u1,u2 et u3 2. Montrer que ∀n∈N,un+1et un premiers entre eux. 3. On pose ∀n∈N,vn=un+13a) Montrer que vn est geˊomeˊtrique.Raison et le premier terme ?b) En deˊduire l’expression de vnpuis de un en fonction de n. 4. Calculer PGCD(4n+1−1;4n−1)\text{Soit }(u_n)\text{ la suite définie par :}\\\left\{\begin{array}{c}u_0=0\\\forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=4u_n+1\end{array}\right.\\ \ \\1.\text{ Calculer }u_1,u_2\text{ et }u_3\\ \ \\2.\text{ Montrer que }\forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}\\\text{et }u_n\text{ premiers entre eux.}\\ \ \\3.\text{ On pose }\forall n\in\mathbb{N},v_n=u_n+\frac{1}{3}\\a)\text{ Montrer que }v_n\text{ est géométrique.}\\\text{Raison et le premier terme ?}\\b)\text{ En déduire l'expression de }v_n\\\text{puis de }u_n\text{ en fonction de }n.\\ \ \\4.\text{ Calculer }PGCD(4^{n+1}-1;4^n-1)
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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 3
Soit a et b deux entiersnaturels veˊrifiant a>b>0. Montrer que : PGCD(a;b)=a−b⟺∃k∈Z tel que {a=(k+1)(a−b)b=k(a−b)\text{Soit }a\text{ et }b\text{ deux entiers}\\\text{naturels vérifiant }a>b>0.\\ \ \\\text{Montrer que :}\\ \ \\\text{PGCD}(a;b)=a-b\\\Longleftrightarrow\\\exist k\in\mathbb{Z}\text{ tel que }\left\{\begin{array}{c}a=(k+1)(a-b)\\b=k(a-b)\end{array}\right.
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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 5
On eˊtudie dans cet exercice lesnombres de Fermat.Le n-ieˋme nombre de Fermat estFn=22n+1, ouˋ n∈N  1. Montrer que pour tout n ettout k,Fn+k=(Fn−1)2k+1 2. En deˊduire que pour tout n∈Net pour tout k>0,Fn+k≡2[Fn] 3. Montrer alors que pour tout ndiffeˊrent de p,  PGCD(Fn;Fp)=1 4. Aˋ l’aide de ce reˊsultat, deˊmon-trer qu’il existe une infiniteˊ denombres premiers.\text{On étudie dans cet exercice les}\\\text{nombres de Fermat.}\\\text{Le n-ième nombre de Fermat est}\\F_n=2^{2^n}+1,\text{ où }n\in\mathbb{N}\\ \ \ \\1.\text{ Montrer que pour tout }n\text{ et}\\\text{tout }k,\quad F_{n+k}=(F_n-1)^{2^k}+1\\ \ \\2.\text{ En déduire que pour tout }n\in\mathbb{N}\\\text{et pour tout }k>0,\quad F_{n+k}\equiv 2[F_n]\\ \ \\3.\text{ Montrer alors que pour tout }n\\\text{différent de }p,\;PGCD(F_n;F_p)=1\\ \ \\4.\text{ À l'aide de ce résultat, démon-}\\\text{trer qu'il existe une infinité de}\\\text{nombres premiers.}
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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 1
Parmi les couples suivants,lesquels sont premiers entreeux ? (12;5);      (39;25)(12;3)      ;    (36;15)      ;    (25;17)\text{Parmi les couples suivants,}\\\text{lesquels sont premiers entre}\\\text{eux ?}\\ \ \\\quad\quad (12;5)\quad ;\;\;\;(39;25)\\ (12;3)\;\;\; ;\;\;(36;15)\;\;\; ;\;\;(25;17)
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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 3
Soit n∈N, quand on divise 169et 267 par n, on obtient le meˆmereste 15. 1. Deˊmontrer que n est un diviseurcommun aˋ 154 et 252. 2. Quelle est la plus grande valeurpossible pour n ?\text{Soit }n\in\mathbb{N}\text{, quand on divise }169\\\text{et }267\text{ par }n\text{, on obtient le même}\\\text{reste }15.\\ \ \\1.\,\text{Démontrer que }n\text{ est un diviseur}\\\text{commun à }154\text{ et }252.\\ \ \\2.\, \text{Quelle est la plus grande valeur}\\\text{possible pour }n\text{ ?}
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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 4
Trouver les entiers naturelsa et b avec a<b tels que : ab=6300 et PGCD(a;b)=15.\text{Trouver les entiers naturels}\\a\text{ et }b\text{ avec }a < b\text{ tels que :}\\ \ \\ab=6300\text{ et }\mathrm{PGCD}(a;b)=15.
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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 2
Utiliser l’algorithme d’Euclide pourtrouver : PGCD(4935;517) PGCD(2012;7545)\text{Utiliser l'algorithme d'Euclide pour}\\\text{trouver :}\\ \ \\\mathrm{PGCD}(4 935;517)\\ \ \\\mathrm{PGCD}(2012;7545)
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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 3
1. Deˊterminer tous les entiersnaturels n tels que : PGCD⁡(n;324)=12. 2. En deˊduire parmi eux les entiersnaturels n infeˊrieurs aˋ 100.1.\,\text{Déterminer tous les entiers}\\\text{naturels }n\text{ tels que :}\\ \ \\\operatorname{PGCD}(n;324)=12.\\ \ \\2.\,\text{En déduire parmi eux les entiers}\\\text{naturels }n\text{ inférieurs à }100.
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