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MPSI/PCSI
Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 4
Soit p un nombre premier supeˊri-eur ou eˊgal aˋ 7.Nous allons montrer dans cetexercice que l’entier n deˊfini parn=p4−1 est divisible par 240. 1. Montrer que p est congru aˋ 1 ou-1 modulo 3. En deˊduire que 3∣n. 2. Prouver qu’il existe un entier ktel que :p2−1=4k(k+1).On pourra remarquer que p estimpair. 3. Montrer alors que 16∣n. 4. En consideˊrant aˋ quoi peut eˆtrecongru p modulo 5, montrer que5∣n. 5. Soient a,b,c∈N, a) Montrer que si a∣c,b∣c et PGCD(a,b)=1 alors ab∣c. b) En deˊduire que 240∣n.
Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 3
On consideˋre l’eˊquation (E):(E):51x+54y=2004L’objectif de cet exercice est dereˊsoudre l’eˊquation (E). 1. Deˊmontrer que cette eˊquationadmet une ou plusieurs solutions. 2. Montrer que (E) peut s’eˊcrire :17x+18y=668 3. On commence par reˊsoudre(E′):17x+18y=1a) Donner une solution particulieˋre de (E′).b) En utilisant notamment letheˊoreˋme de Gauss, montrerque les solutions (E′) sont lescouples de la forme :(−1+18k,1−17k), ouˋ k∈Z 4. En deˊduire les solutions de (E).
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Arithmétique
Difficulté 3
Reˊsoudre les eˊquationsdiophantiennes suivantes : (E1):23x−40y=1(E2):242x+193y=−118