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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 4
Soit p un nombre premier supeˊri-eur ou eˊgal aˋ 7.Nous allons montrer dans cetexercice que l’entier n deˊfini parn=p4−1 est divisible par 240. 1. Montrer que p est congru aˋ 1 ou-1 modulo 3. En deˊduire que 3∣n. 2. Prouver qu’il existe un entier ktel que :  p2−1=4k(k+1).On pourra remarquer que p estimpair. 3. Montrer alors que 16∣n. 4. En consideˊrant aˋ quoi peut eˆtrecongru p modulo 5, montrer que5∣n. 5. Soient a,b,c∈N, a) Montrer que si a∣c,b∣c et PGCD(a,b)=1 alors ab∣c. b) En deˊduire que 240∣n.\text{Soit }p\text{ un nombre premier supéri-}\\\text{eur ou égal à 7.}\\\text{Nous allons montrer dans cet}\\\text{exercice que l'entier }n\text{ défini par}\\n=p^4-1\text{ est divisible par 240.}\\ \ \\1.\text{ Montrer que }p\text{ est congru à 1 ou}\\\text{-1 modulo 3.}\text{ En déduire que }3|n.\\ \ \\2.\text{ Prouver qu'il existe un entier }k\\\text{tel que :}\quad\;p^2-1=4k(k+1).\\\text{On pourra remarquer que }p\text{ est}\\\text{impair.}\\ \ \\3.\text{ Montrer alors que }16|n.\\ \ \\4.\text{ En considérant à quoi peut être}\\\text{congru p modulo 5, montrer que}\\5|n.\\ \ \\5.\text{ Soient }a,b,c\in\mathbb{N},\\ ~a)\text{ Montrer que si }a|c,b|c\text{ et}\\ ~PGCD(a,b)=1\text{ alors }ab|c.\\ ~b)\text{ En déduire que }240|n.
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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 3
On consideˋre l’eˊquation (E):(E):51x+54y=2004L’objectif de cet exercice est dereˊsoudre l’eˊquation (E). 1. Deˊmontrer que cette eˊquationadmet une ou plusieurs solutions. 2. Montrer que (E) peut s’eˊcrire :17x+18y=668 3. On commence par reˊsoudre(E′):17x+18y=1    a) Donner une solution     particulieˋre de (E′).    b) En utilisant notamment le    theˊoreˋme de Gauss, montrer    que les solutions (E′) sont les    couples de la forme :    (−1+18k,1−17k), ouˋ k∈Z 4. En deˊduire les solutions de (E)\text{On considère l'équation }(E):\\\quad(E):51x+54y=2004\\\text{L'objectif de cet exercice est de}\\\text{résoudre l'équation }(E).\\ \ \\1.\text{ Démontrer que cette équation}\\\text{admet une ou plusieurs solutions.}\\ \ \\2.\text{ Montrer que }(E)\text{ peut s'écrire :}\\17x+18y=668\\ \ \\3.\text{ On commence par résoudre}\\\quad\quad(E'):17x+18y=1\\\;\;a)\text{ Donner une solution }\\\;\;\text{particulière de }(E').\\\;\;b)\text{ En utilisant notamment le}\\\;\;\text{théorème de Gauss, montrer}\\\;\;\text{que les solutions }(E')\text{ sont les}\\\;\;\text{couples de la forme :}\\\;\;(-1+18k,1-17k)\text{, où }k\in\mathbb{Z}\\ \ \\4.\text{ En déduire les solutions de }(E).
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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 3
Reˊsoudre les eˊquationsdiophantiennes suivantes : (E1):23x−40y=1(E2):242x+193y=−118\text{Résoudre les équations}\\\text{diophantiennes suivantes :}\\ \ \\ (E_1):23x-40y=1\\ (E_2):242x+193y=-118
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