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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 5
Le but de cet exercice est de deˊ-terminer s’il existe des nombrespremiers p tels que 2p+p2 estaussi un nombre premier. 1. Les nombres 2 ; 3 ; 5 ; 7 et 9fonctionnent-ils ? 2. Aˋ partir de la question preˊceˊ-dente, eˊmettre une conjecturequant aux diviseurs de 2p+p2pour p≥5 3. Deˊmontrer cette conjecture aˋl’aide de congruences. 4. Conclure.\text{Le but de cet exercice est de dé-}\\\text{terminer s'il existe des nombres}\\\text{premiers }p\text{ tels que }2^p+p^2\text{ est}\\\text{aussi un nombre premier.}\\ \ \\1.\text{ Les nombres 2 ; 3 ; 5 ; 7 et 9}\\\text{fonctionnent-ils ?}\\ \ \\2.\text{ À partir de la question précé-}\\\text{dente, émettre une conjecture}\\\text{quant aux diviseurs de }2^p+p^2\\\text{pour }p\geq 5\\ \ \\3.\text{ Démontrer cette conjecture à}\\\text{l'aide de congruences.}\\ \ \\4.\text{ Conclure.}
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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 4
On cherche dans cette question aˋdeˊterminer par combien de zeˊrosse termine 1000!. 1. Montrer qu’il existe des entiersp≥1,q≥1 et N veˊrifiantPGCD(N,10)=1 tels que1000!=2p×5q×N. 2. Reˊpondre aux eˊtapessuivantes :    a) Combien y a-t-il de nombres    ≤1000 divisibles par 5 ?    b) Combien y a-t-il de nombres    ≤1000 divisibles par 52 ?    c) Combien y a-t-il de nombres    ≤1000 divisibles par 53 ?    d) Combien y a-t-il de nombres    ≤1000 divisibles par 54 ?    e) En deˊduire que q=249. 3. Eˊtablir que p>q et que lenombre rechercheˊ est q.\text{On cherche dans cette question à}\\\text{déterminer par combien de zéros}\\\text{se termine 1000!.}\\ \ \\1.\text{ Montrer qu'il existe des entiers}\\p\ge1,q\ge1\text{ et }N\text{ vérifiant}\\PGCD(N,10)=1\text{ tels que}\\1000!=2^p\times 5^q\times N.\\ \ \\2.\text{ Répondre aux étapes}\\\text{suivantes :}\\\;\;a)\text{ Combien y a-t-il de nombres}\\\;\;\leq1000\text{ divisibles par 5 ?}\\\;\;b)\text{ Combien y a-t-il de nombres}\\\;\;\leq1000\text{ divisibles par }5^2\text{ ?}\\\;\;c)\text{ Combien y a-t-il de nombres}\\\;\;\leq1000\text{ divisibles par }5^3\text{ ?}\\\;\;d)\text{ Combien y a-t-il de nombres}\\\;\;\leq1000\text{ divisibles par }5^4\text{ ?}\\\;\;e)\text{ En déduire que }q=249.\\ \ \\3.\text{ Établir que }p>q\text{ et que le}\\\text{nombre recherché est q.}
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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 3
Une boıˆte en forme de paveˊ droita des dimensions qui s’expriment,en cm, par des nombres entiers. Son volume est de 22,661 cm³. Quelles sont les dimensions dela boıˆte ?\text{Une boîte en forme de pavé droit}\\\text{a des dimensions qui s'expriment,}\\\text{en cm, par des nombres entiers.}\\ \ \\\text{Son volume est de 22,661 cm³.}\\ \ \\\text{Quelles sont les dimensions de}\\\text{la boîte ?}
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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 3
Soit n∈N∗. On note a=n13−n. 1. Montrer que a est divible par13 et 7. 2. En deˊduire que a est divisiblepar 182.\text{Soit }n\in\mathbb{N}^*.\text{ On note }a=n^{13}-n.\\ \ \\1.\text{ Montrer que }a\text{ est divible par}\\\text{13 et 7.}\\ \ \\2.\text{ En déduire que }a\text{ est divisible}\\\text{par 182.}
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Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 3
Soit n un entier relatif et A lenombre deˊfini par :A=n4−12n2+16. 1. En remarquant queA=n4−8n2+16−4n2,factoriser A. 2. Montrer que si n est pairalors, A n’est pas premier. 3. On suppose que n est impair.On pose alors n=2k+1/    k∈Z.    a) Montrer que :    A=(4k2+8k−1)(4k2−5).    b) En deˊduire les valeurs de n    pour lesquelles A est nombre    premier.\text{Soit }n\text{ un entier relatif et }A\text{ le}\\\text{nombre défini par :}\\\quad A=n^4-12n^2+16.\\ \ \\1.\text{ En remarquant que}\\A=n^4-8n^2+16-4n^2\text{,}\\\text{factoriser }A.\\ \ \\2.\text{ Montrer que si }n\text{ est pair}\\\text{alors, }A\text{ n'est pas premier.}\\ \ \\3.\text{ On suppose que }n\text{ est impair.}\\\text{On pose alors }n=2k+1/\;\;k\in\mathbb{Z}.\\\;\;a)\text{ Montrer que :}\\\;\;A=(4k^2+8k-1)(4 k^2-5).\\\;\;b)\text{ En déduire les valeurs de }n\\\;\;\text{pour lesquelles }A\text{ est nombre}\\\;\;\text{premier.}
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