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MPSI/PCSI
Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 5
Le but de cet exercice est de deˊ-terminer s’il existe des nombrespremiers p tels que 2p+p2 estaussi un nombre premier. 1. Les nombres 2 ; 3 ; 5 ; 7 et 9fonctionnent-ils ? 2. Aˋ partir de la question preˊceˊ-dente, eˊmettre une conjecturequant aux diviseurs de 2p+p2pour p≥5 3. Deˊmontrer cette conjecture aˋl’aide de congruences. 4. Conclure.
Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 4
On cherche dans cette question aˋdeˊterminer par combien de zeˊrosse termine 1000!. 1. Montrer qu’il existe des entiersp≥1,q≥1 et N veˊrifiantPGCD(N,10)=1 tels que1000!=2p×5q×N. 2. Reˊpondre aux eˊtapessuivantes :a) Combien y a-t-il de nombres≤1000 divisibles par 5 ?b) Combien y a-t-il de nombres≤1000 divisibles par 52 ?c) Combien y a-t-il de nombres≤1000 divisibles par 53 ?d) Combien y a-t-il de nombres≤1000 divisibles par 54 ?e) En deˊduire que q=249. 3. Eˊtablir que p>q et que lenombre rechercheˊ est q.
Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 3
Une boıˆte en forme de paveˊ droita des dimensions qui s’expriment,en cm, par des nombres entiers. Son volume est de 22,661 cm³. Quelles sont les dimensions dela boıˆte ?
Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 3
Soit n∈N∗. On note a=n13−n. 1. Montrer que a est divible par13 et 7. 2. En deˊduire que a est divisiblepar 182.
Maths Expertes
Arithmétique
Difficulté 3
Soit n un entier relatif et A lenombre deˊfini par :A=n4−12n2+16. 1. En remarquant queA=n4−8n2+16−4n2,factoriser A. 2. Montrer que si n est pairalors, A n’est pas premier. 3. On suppose que n est impair.On pose alors n=2k+1/k∈Z.a) Montrer que :A=(4k2+8k−1)(4k2−5).b) En deˊduire les valeurs de npour lesquelles A est nombrepremier.