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Soit f:EIf: E \rightarrow I une application surjective.
On pose, pour tout iI,Ai=f1({i})i \in I, A_{i}=f^{-1}(\{i\})
Montrer que les AiA_{i} sont non vides, deux à deux disjoints, de réunion égale à EE.
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Soit f:EFf: E \rightarrow F une application. Montrer que :
(a) ff est injective A(E),A=f1(f(A))\Longleftrightarrow \forall A \in \wp(E), A=f^{-1}(f(A)).
(b) ff est surjective B(F),f(f1(B))=B\Longleftrightarrow \forall B \in \wp(F), f\left(f^{-1}(B)\right)=B
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Soient EE et FF deux ensembles et f:EFf: E \rightarrow F.
Montrer que ff est injective si, et seulement si,
A,A(E),f(AA)=f(A)f(A)\forall A, A^{\prime} \in \wp(E), f\left(A \cap A^{\prime}\right)=f(A) \cap f\left(A^{\prime}\right)
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Soit f:EFf: E \rightarrow F une application.
ÉtablirAP(E),Af1(f(A)) et BP(F),f(f1(B))B\forall A \in \mathcal{P}(E), A \subset f^{-1}(f(A)) \text { et } \forall B \in \mathcal{P}(F), f\left(f^{-1}(B)\right) \subset B
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Soit f:EIf: E \rightarrow I une application surjective.
On pose, pour tout iI,Ai=f1({i})i \in I, A_{i}=f^{-1}(\{i\}).
Montrer que les AiA_{i} sont non vides,
deux à deux disjoints,
de réunion égale à EE.
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Décrire l'image directe de R\mathbb{R} par la fonction exponentielle.
Déterminer l'image réciproque de l'intervalle [1;4][-1 ; 4] par la fonction f:xx2f: x \mapsto x^{2} définie sur R\mathbb{R}
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Soit f:EFf: E \rightarrow F une application. Montrer que :
(a) ff est injective A(E),A=f1(f(A))\Longleftrightarrow \forall A \in \wp(E), A=f^{-1}(f(A)).
(b) ff est surjective B(F),f(f1(B))=B\Longleftrightarrow \forall B \in \wp(F), f\left(f^{-1}(B)\right)=B
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Soient E,F,GE, F, G trois ensembles, f:EFf: E \rightarrow F et g1,g2:FGg_{1}, g_{2}: F \rightarrow G.
On suppose ff surjective et g1f=g2fg_{1} \circ f=g_{2} \circ f.
Montrer que g1=g2g_{1}=g_{2}.
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Soient EE et FF deux ensembles et f:EFf: E \rightarrow F.
Montrer que ff est injective si, et seulement si,
A,A(E),f(AA)=f(A)f(A)\forall A, A^{\prime} \in \wp(E), f\left(A \cap A^{\prime}\right)=f(A) \cap f\left(A^{\prime}\right)
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Soient E,F,GE, F, G trois ensembles, f1,f2:EFf_{1}, f_{2}: E \rightarrow F et g:FGg: F \rightarrow G.
On suppose gf1=gf2g \circ f_{1}=g \circ f_{2} et gg injective.
Montrer que f1=f2f_{1}=f_{2}.
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Soient f:EFf: E \rightarrow F et g:FEg: F \rightarrow E deux applications telles que fgff \circ g \circ f soit bijective.
Montrer que ff et gg sont bijectives.
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Soit f:EFf: E \rightarrow F une application. Établir AP(E),Af1(f(A)) et BP(F),f(f1(B))B\forall A \in \mathcal{P}(E), A \subset f^{-1}(f(A)) \text { et } \forall B \in \mathcal{P}(F), f\left(f^{-1}(B)\right) \subset B
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Décrire l'image directe de R\mathbb{R} par la fonction exponentielle.
Déterminer l'image réciproque de l'intervalle [1;4][-1 ; 4] par la fonction f:xx2f: x \mapsto x^{2} définie sur R\mathbb{R}
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Soient E,F,GE, F, G trois ensembles, f:EF,g:FGf: E \rightarrow F, g: F \rightarrow G et h:GEh: G \rightarrow E
Établir que si hgfh \circ g \circ f est injective
et que gfhg \circ f \circ h et fhgf \circ h \circ g sont surjectives
alors f,gf, g et hh sont bijectives.
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Soit f:NZf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} définie par f(n)={n/2 si n est pair n+12 sinon. f(n)= \begin{cases}n / 2 & \text { si } n \text { est pair } \\ -\frac{n+1}{2} & \text { sinon. }\end{cases}
Montrer que ff est bien définie
et bijective.
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Soient f:NNf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} et g:NNg: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} les applications définies par :kN,f(k)=2k et g(k)={k/2 si k est pair (k1)/2 si k est impair. \forall k \in \mathbb{N}, f(k)=2 k \text { et } g(k)= \begin{cases}k / 2 & \text { si } k \text { est pair } \\ (k-1) / 2 & \text { si } k \text { est impair. }\end{cases}
(a) Étudier l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité de ff et de gg.
(b) Préciser les applications gfg \circ f et fgf \circ g.
Étudier leur injectivité, surjectivité et bijectivité.
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Soit AA une partie d'un ensemble EE. On appelle fonction caractéristique de la partie AA dans EE, l'application 1A:ER1_{A}: E \rightarrow \mathbb{R} définie par 1A(x)={1 si xA0 sinon 1_{A}(x)= \begin{cases}1 & \text { si } x \in A \\ 0 & \text { sinon }\end{cases} De quels ensembles les fonctions suivantes sont-elles les fonctions caractéristiques? (a) min(1A,1B)\min \left(1_{A}, 1_{B}\right)
(c) 1A1B1_{A} \cdot 1_{B}
(e) 1A+1B1A1B1_{A}+1_{B}-1_{A} \cdot 1_{B}
(b) max(1A,1B)\max \left(1_{A}, 1_{B}\right)
(d) 11A1-1_{A}
(f) (1A1B)2\left(1_{A}-1_{B}\right)^{2}
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Soient A,BA, B deux parties de EE.
Discuter et résoudre l'équation AX=BA \cap X=B d'inconnue XP(E)X \in \mathcal{P}(E).
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Étant données A,BA, B et CC trois parties d'un ensemble EE, montrer que :
(a) AΔB=AΔCB=CA \Delta B=A \Delta C \Longleftrightarrow B=C
(b) A\B=AB\A=BA \backslash B=A \Longleftrightarrow B \backslash A=B
(c) AΔB=ABA=B=A \Delta B=A \cap B \Longrightarrow A=B=\emptyset
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Soient AA et BB deux parties de EE, on appelle différence symétrique de AA et BB, l'ensemble
AΔB=(A\B)(B\A)A \Delta B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A)
Montrer
AΔB=(AB)\(AB)A \Delta B=(A \cup B) \backslash(A \cap B)
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Soient A,BA, B deux parties de EE.
Discuter et résoudre l'équation AX=BA \cap X=B d'inconnue XP(E)X \in \mathcal{P}(E).
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Étant donné A,BA, B et CC trois parties de EE, justifier les équivalences suivantes :
(a) ABAB=BA \subset B \Longleftrightarrow A \cup B=B.
(b) A=BAB=ABA=B \Longleftrightarrow A \cap B=A \cup B.
(c) AB=ACBACA \cup B=A \cap C \Longleftrightarrow B \subset A \subset C.
(d) {AB=ACAB=ACB=C\left\{\begin{array}{l}A \cup B=A \cup C \\ A \cap B=A \cap C\end{array} \Longleftrightarrow B=C\right.
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Étant donné AA et BB deux parties de EE, justifier
EA\EB=B\A.\complement_{E} A \backslash \complement_{E} B=B \backslash A .
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Décrire P(P({a}))\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a\}))
aa désigne un élément.
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Étant données A,BA, B et CC trois parties d'un ensemble EE, montrer que :
(a) AΔB=AΔCB=CA \Delta B=A \Delta C \Longleftrightarrow B=C
(b) A\B=AB\A=BA \backslash B=A \Longleftrightarrow B \backslash A=B
(c) AΔB=ABA=B=A \Delta B=A \cap B \Longrightarrow A=B=\emptyset
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Soient AA et BB deux parties de EE, on appelle différence symétrique de AA et BB, l'ensemble
AΔB=(A\B)(B\A)A \Delta B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A)
Montrer
AΔB=(AB)\(AB)A \Delta B=(A \cup B) \backslash(A \cap B)
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Étant donné A,BA, B et CC trois parties de EE, justifier les équivalences suivantes :
(a) ABAB=BA \subset B \Longleftrightarrow A \cup B=B.
(b) A=BAB=ABA=B \Longleftrightarrow A \cap B=A \cup B.
(c) AB=ACBACA \cup B=A \cap C \Longleftrightarrow B \subset A \subset C.
(d) {AB=ACAB=ACB=C\left\{\begin{array}{l}A \cup B=A \cup C \\ A \cap B=A \cap C\end{array} \Longleftrightarrow B=C\right.
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Étant donné AA et BB deux parties de EE, justifier
EA\EB=B\A.\complement_{E} A \backslash \complement_{E} B=B \backslash A .
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Un ensemble est dit décrit en compréhension lorsqu'il réunit les éléments d'un ensemble vérifiant une propriété.
Un ensemble est dit décrit en extension lorsqu'on cite ses éléments.
Par exemple, {nZkZ,n=2k}\{n \in \mathbb{Z} \mid \exists k \in \mathbb{Z}, n=2 k\} et {2kkZ}\{2 k \mid k \in \mathbb{Z}\} sont des descriptions respectivement en compréhension et en extension de l'ensemble des entiers pairs.
(a) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble {1,3,5,7,}\{1,3,5,7, \ldots\}.
(b) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble {1,10,100,1000,}\{1,10,100,1000, \ldots\}.
(c) Décrire en extension l'ensemble des nombres rationnels.
(d) Décrire en compréhension l'ensemble ]0;1].
(e) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble des valeurs prises par une fonction f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.
(f) Décrire en compréhension l'ensemble des antécédents d'un réel y par une fonction f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.
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Soit (un)\left(u_{n}\right) la suite réelle déterminée par
u0=2,u1=3 et nN,un+2=3un+12unu_{0}=2, u_{1}=3 \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=3 u_{n+1}-2 u_{n} Montrer
nN,un=2n+1\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}=2^{n}+1
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Le raisonnement suivant est erroné :
Montrons, par récurrence sur nNn \in \mathbb{N}^{*}, la propriété :
P(n)=n\mathcal{P}(n)=n points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés.
Pour n=1n=1 et n=2n=2, la propriété est vraie.
Supposons la propriété établie au rang n2n \geq 2.
Considérons alors n+1n+1 points deux à deux distincts A1,A2,,An,An+1A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, A_{n+1}
(HR) Les points A1,A2,,AnA_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} sont alignés sur une droite D\mathcal{D}.
(HR) Les points A2,,An,An+1A_{2}, \ldots, A_{n}, A_{n+1} sont alignés sur une droite D\mathcal{D}^{\prime}.
Or D\mathcal{D} et D\mathcal{D}^{\prime} contiennent les deux points distincts A2A_{2} et AnA_{n}, donc D=D\mathcal{D}=\mathcal{D}^{\prime}.
Par suite A1,A2,,An,An+1A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, A_{n+1} sont alignés sur la droite D=D\mathcal{D}=\mathcal{D}^{\prime}.
Récurrence établie.
Où est l'erreur?
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Montrer quenN,1!3!(2n+1)!<br/>((n+1)!)n+1\forall n \in \mathbb{N}^{*}, 1 ! 3 ! \ldots(2 n+1) ! <br/> \geq((n+1) !)^{n+1}
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Soit E={a,b,c}E=\{a, b, c\} un ensemble. Peut-on écrire :
(a) aEa \in E
(c) {a}E\{a\} \subset E
(e) E\emptyset \subset E
(b) aEa \subset E
(d) E\emptyset \in E
(f) {}E\{\emptyset\} \subset E ?
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Montrer que
nN\{0,1},1+122++1n2>3n2n+1\forall n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}, 1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}>\frac{3 n}{2 n+1}
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Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue.
On considère les assertions suivantes :
PxR,f(x)=0P \sim \ll \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=0 ,
QxR,f(x)=0Q \sim \ll \exists x \in \mathbb{R}, f(x)=0
et
R(xR,f(x)>0) ou (xR,f(x)<0)R \sim \ll(\forall x \in \mathbb{R}, f(x)>0) \text { ou }(\forall x \in \mathbb{R}, f(x)<0)
Parmi les implications suivantes lesquelles sont exactes :
(a) PQP \Longrightarrow Q
(b) QPQ \Longrightarrow P
(d) non(R)Q\operatorname{non}(R) \Longrightarrow Q
(c) QRQ \Longrightarrow R
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Soient II un intervalle de R\mathbb{R} non vide et f:IRf: I \rightarrow \mathbb{R} une fonction à valeurs réelles définie sur II.
Exprimer les négations des assertions suivantes :
(a) xI,f(x)0\forall x \in I, f(x) \neq 0
(b) yR,xI,f(x)=y\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in I, f(x)=y
(c) MR,xI,f(x)M\exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in I,|f(x)| \leq M
(d) x,yI,xyf(x)f(y)\forall x, y \in I, x \leq y \Longrightarrow f(x) \leq f(y)
(e) x,yI,f(x)=f(y)x=y\forall x, y \in I, f(x)=f(y) \Longrightarrow x=y
(f) xI,f(x)>0x0\forall x \in I, f(x)>0 \Longrightarrow x \leq 0.
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Soient II un intervalle de R\mathbb{R} et f:IRf: I \rightarrow \mathbb{R} une fonction définie sur II à valeurs réelles.
Exprimer à l'aide de quantificateurs les assertions suivantes:
(a) la fonction ff s'annule
(b) la fonction ff est la fonction nulle
(c) ff n'est pas une fonction constante
(d) ff ne prend jamais deux fois la même valeur
(e) la fonction ff présente un minimum
(f) ff prend des valeurs arbitrairement grandes
(g) ff ne peut s'annuler qu'une seule fois.
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Soient II un intervalle de R\mathbb{R} et f:IRf: I \rightarrow \mathbb{R} une fonction définie sur II à valeurs réelles.
Exprimer verbalement la signification des assertions suivantes :
(a) CR,xI,f(x)=C\exists C \in \mathbb{R}, \forall x \in I, f(x)=C
(b) xI,f(x)=0x=0\forall x \in I, f(x)=0 \Longrightarrow x=0
(c) yR,xI,f(x)=y\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in I, f(x)=y
(d) x,yI,xyf(x)f(y)\forall x, y \in I, x \leq y \Longrightarrow f(x) \leq f(y)
(e) x,yI,f(x)=f(y)x=y\forall x, y \in I, f(x)=f(y) \Longrightarrow x=y.
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On dispose de neuf billes visuellement identiques, elles ont toutes la même masse sauf une.
Comment, à l'aide d'une balance à deux plateaux, démasquer l'intrus en trois pesées?
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On dispose de neuf billes visuellement identiques,
huit d'entre elles ont même masse mais la neuvième est plus lourde.
Comment, en deux pesées sur une balance à deux plateaux, peut-on démasquer l'intrus?
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Étant donné P,QP, Q et RR trois assertions, vérifier en dressant la table de vérité :
(a) PP ou (Q(Q et R)(PR) \sim(P ou Q)Q) et (P(P ou R)R)
(b) non(PQ)P\operatorname{non}(P \Longrightarrow Q) \sim P et non(Q)\operatorname{non}(Q).
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Décrire les parties de R\mathbb{R} dans lesquelles évoluent xx pour que les assertions suivantes soient vraies:
(a) (x>0(x>0 et x<1)x<1) ou x=0x=0
(b) x>3x>3 et x<5x<5 et x4x \neq 4
(c) (x0(x \leq 0 et x>1x>1 ) ou x=4x=4
(d) x0x2x \geq 0 \Longrightarrow x \geq 2.
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