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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit f:E→If: E \rightarrow I une application surjective.
On pose, pour tout i∈I,Ai=f−1({i})i \in I, A_{i}=f^{-1}(\{i\})
Montrer que les AiA_{i} sont non vides, deux à deux disjoints, de réunion égale à EE.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit f:E→Ff: E \rightarrow F une application. Montrer que :
(a) ff est injective ⟺∀A∈℘(E),A=f−1(f(A))\Longleftrightarrow \forall A \in \wp(E), A=f^{-1}(f(A)).
(b) ff est surjective ⟺∀B∈℘(F),f(f−1(B))=B\Longleftrightarrow \forall B \in \wp(F), f\left(f^{-1}(B)\right)=B
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Soient EE et FF deux ensembles et f:E→Ff: E \rightarrow F.
Montrer que ff est injective si, et seulement si,
∀A,A′∈℘(E),f(A∩A′)=f(A)∩f(A′)\forall A, A^{\prime} \in \wp(E), f\left(A \cap A^{\prime}\right)=f(A) \cap f\left(A^{\prime}\right)
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soit f:E→Ff: E \rightarrow F une application.
Établir∀A∈P(E),A⊂f−1(f(A)) et ∀B∈P(F),f(f−1(B))⊂B\forall A \in \mathcal{P}(E), A \subset f^{-1}(f(A)) \text { et } \forall B \in \mathcal{P}(F), f\left(f^{-1}(B)\right) \subset B
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit f:E→If: E \rightarrow I une application surjective.
On pose, pour tout i∈I,Ai=f−1({i})i \in I, A_{i}=f^{-1}(\{i\}).
Montrer que les AiA_{i} sont non vides,
deux à deux disjoints,
de réunion égale à EE.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Décrire l'image directe de R\mathbb{R} par la fonction exponentielle.
Déterminer l'image réciproque de l'intervalle [−1;4][-1 ; 4] par la fonction f:x↦x2f: x \mapsto x^{2} définie sur R\mathbb{R}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit f:E→Ff: E \rightarrow F une application. Montrer que :
(a) ff est injective ⟺∀A∈℘(E),A=f−1(f(A))\Longleftrightarrow \forall A \in \wp(E), A=f^{-1}(f(A)).
(b) ff est surjective ⟺∀B∈℘(F),f(f−1(B))=B\Longleftrightarrow \forall B \in \wp(F), f\left(f^{-1}(B)\right)=B
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soient E,F,GE, F, G trois ensembles, f:E→Ff: E \rightarrow F et g1,g2:F→Gg_{1}, g_{2}: F \rightarrow G.
On suppose ff surjective et g1∘f=g2∘fg_{1} \circ f=g_{2} \circ f.
Montrer que g1=g2g_{1}=g_{2}.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Soient EE et FF deux ensembles et f:E→Ff: E \rightarrow F.
Montrer que ff est injective si, et seulement si,
∀A,A′∈℘(E),f(A∩A′)=f(A)∩f(A′)\forall A, A^{\prime} \in \wp(E), f\left(A \cap A^{\prime}\right)=f(A) \cap f\left(A^{\prime}\right)
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient E,F,GE, F, G trois ensembles, f1,f2:E→Ff_{1}, f_{2}: E \rightarrow F et g:F→Gg: F \rightarrow G.
On suppose g∘f1=g∘f2g \circ f_{1}=g \circ f_{2} et gg injective.
Montrer que f1=f2f_{1}=f_{2}.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soient f:E→Ff: E \rightarrow F et g:F→Eg: F \rightarrow E deux applications telles que f∘g∘ff \circ g \circ f soit bijective.
Montrer que ff et gg sont bijectives.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soit f:E→Ff: E \rightarrow F une application. Établir ∀A∈P(E),A⊂f−1(f(A)) et ∀B∈P(F),f(f−1(B))⊂B\forall A \in \mathcal{P}(E), A \subset f^{-1}(f(A)) \text { et } \forall B \in \mathcal{P}(F), f\left(f^{-1}(B)\right) \subset B
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Décrire l'image directe de R\mathbb{R} par la fonction exponentielle.
Déterminer l'image réciproque de l'intervalle [−1;4][-1 ; 4] par la fonction f:x↦x2f: x \mapsto x^{2} définie sur R\mathbb{R}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient E,F,GE, F, G trois ensembles, f:E→F,g:F→Gf: E \rightarrow F, g: F \rightarrow G et h:G→Eh: G \rightarrow E
Établir que si h∘g∘fh \circ g \circ f est injective
et que g∘f∘hg \circ f \circ h et f∘h∘gf \circ h \circ g sont surjectives
alors f,gf, g et hh sont bijectives.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soit f:N→Zf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} définie par f(n)={n/2 si n est pair −n+12 sinon. f(n)= \begin{cases}n / 2 & \text { si } n \text { est pair } \\ -\frac{n+1}{2} & \text { sinon. }\end{cases}
Montrer que ff est bien définie
et bijective.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soient f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} et g:N→Ng: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} les applications définies par :∀k∈N,f(k)=2k et g(k)={k/2 si k est pair (k−1)/2 si k est impair. \forall k \in \mathbb{N}, f(k)=2 k \text { et } g(k)= \begin{cases}k / 2 & \text { si } k \text { est pair } \\ (k-1) / 2 & \text { si } k \text { est impair. }\end{cases}
(a) Étudier l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité de ff et de gg.
(b) Préciser les applications g∘fg \circ f et f∘gf \circ g.
Étudier leur injectivité, surjectivité et bijectivité.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soit AA une partie d'un ensemble EE. On appelle fonction caractéristique de la partie AA dans EE, l'application 1A:E→R1_{A}: E \rightarrow \mathbb{R} définie par 1A(x)={1 si x∈A0 sinon 1_{A}(x)= \begin{cases}1 & \text { si } x \in A \\ 0 & \text { sinon }\end{cases} De quels ensembles les fonctions suivantes sont-elles les fonctions caractéristiques? (a) min⁡(1A,1B)\min \left(1_{A}, 1_{B}\right)
(c) 1A⋅1B1_{A} \cdot 1_{B}
(e) 1A+1B−1A⋅1B1_{A}+1_{B}-1_{A} \cdot 1_{B}
(b) max⁡(1A,1B)\max \left(1_{A}, 1_{B}\right)
(d) 1−1A1-1_{A}
(f) (1A−1B)2\left(1_{A}-1_{B}\right)^{2}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient A,BA, B deux parties de EE.
Discuter et résoudre l'équation A∩X=BA \cap X=B d'inconnue X∈P(E)X \in \mathcal{P}(E).
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Étant données A,BA, B et CC trois parties d'un ensemble EE, montrer que :
(a) AΔB=AΔC⟺B=CA \Delta B=A \Delta C \Longleftrightarrow B=C
(b) A\B=A⟺B\A=BA \backslash B=A \Longleftrightarrow B \backslash A=B
(c) AΔB=A∩B⟹A=B=∅A \Delta B=A \cap B \Longrightarrow A=B=\emptyset
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient AA et BB deux parties de EE, on appelle différence symétrique de AA et BB, l'ensemble
AΔB=(A\B)∪(B\A)A \Delta B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A)
Montrer
AΔB=(A∪B)\(A∩B)A \Delta B=(A \cup B) \backslash(A \cap B)
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient A,BA, B deux parties de EE.
Discuter et résoudre l'équation A∩X=BA \cap X=B d'inconnue X∈P(E)X \in \mathcal{P}(E).
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Étant donné A,BA, B et CC trois parties de EE, justifier les équivalences suivantes :
(a) A⊂B⟺A∪B=BA \subset B \Longleftrightarrow A \cup B=B.
(b) A=B⟺A∩B=A∪BA=B \Longleftrightarrow A \cap B=A \cup B.
(c) A∪B=A∩C⟺B⊂A⊂CA \cup B=A \cap C \Longleftrightarrow B \subset A \subset C.
(d) {A∪B=A∪CA∩B=A∩C⟺B=C\left\{\begin{array}{l}A \cup B=A \cup C \\ A \cap B=A \cap C\end{array} \Longleftrightarrow B=C\right.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Étant donné AA et BB deux parties de EE, justifier
∁EA\∁EB=B\A.\complement_{E} A \backslash \complement_{E} B=B \backslash A .
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Décrire P(P({a}))\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a\}))
où aa désigne un élément.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Étant données A,BA, B et CC trois parties d'un ensemble EE, montrer que :
(a) AΔB=AΔC⟺B=CA \Delta B=A \Delta C \Longleftrightarrow B=C
(b) A\B=A⟺B\A=BA \backslash B=A \Longleftrightarrow B \backslash A=B
(c) AΔB=A∩B⟹A=B=∅A \Delta B=A \cap B \Longrightarrow A=B=\emptyset
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient AA et BB deux parties de EE, on appelle différence symétrique de AA et BB, l'ensemble
AΔB=(A\B)∪(B\A)A \Delta B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A)
Montrer
AΔB=(A∪B)\(A∩B)A \Delta B=(A \cup B) \backslash(A \cap B)
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Étant donné A,BA, B et CC trois parties de EE, justifier les équivalences suivantes :
(a) A⊂B⟺A∪B=BA \subset B \Longleftrightarrow A \cup B=B.
(b) A=B⟺A∩B=A∪BA=B \Longleftrightarrow A \cap B=A \cup B.
(c) A∪B=A∩C⟺B⊂A⊂CA \cup B=A \cap C \Longleftrightarrow B \subset A \subset C.
(d) {A∪B=A∪CA∩B=A∩C⟺B=C\left\{\begin{array}{l}A \cup B=A \cup C \\ A \cap B=A \cap C\end{array} \Longleftrightarrow B=C\right.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Étant donné AA et BB deux parties de EE, justifier
∁EA\∁EB=B\A.\complement_{E} A \backslash \complement_{E} B=B \backslash A .
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Un ensemble est dit décrit en compréhension lorsqu'il réunit les éléments d'un ensemble vérifiant une propriété.
Un ensemble est dit décrit en extension lorsqu'on cite ses éléments.
Par exemple, {n∈Z∣∃k∈Z,n=2k}\{n \in \mathbb{Z} \mid \exists k \in \mathbb{Z}, n=2 k\} et {2k∣k∈Z}\{2 k \mid k \in \mathbb{Z}\} sont des descriptions respectivement en compréhension et en extension de l'ensemble des entiers pairs.
(a) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble {1,3,5,7,…}\{1,3,5,7, \ldots\}.
(b) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble {1,10,100,1000,…}\{1,10,100,1000, \ldots\}.
(c) Décrire en extension l'ensemble des nombres rationnels.
(d) Décrire en compréhension l'ensemble ]0;1].
(e) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble des valeurs prises par une fonction f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.
(f) Décrire en compréhension l'ensemble des antécédents d'un réel y par une fonction f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soit (un)\left(u_{n}\right) la suite réelle déterminée par
u0=2,u1=3 et ∀n∈N,un+2=3un+1−2unu_{0}=2, u_{1}=3 \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=3 u_{n+1}-2 u_{n} Montrer
∀n∈N,un=2n+1\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}=2^{n}+1
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Le raisonnement suivant est erroné :
Montrons, par récurrence sur n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}, la propriété :
P(n)=n\mathcal{P}(n)=n points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés.
Pour n=1n=1 et n=2n=2, la propriété est vraie.
Supposons la propriété établie au rang n≥2n \geq 2.
Considérons alors n+1n+1 points deux à deux distincts A1,A2,…,An,An+1A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, A_{n+1}
(HR) Les points A1,A2,…,AnA_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} sont alignés sur une droite D\mathcal{D}.
(HR) Les points A2,…,An,An+1A_{2}, \ldots, A_{n}, A_{n+1} sont alignés sur une droite D′\mathcal{D}^{\prime}.
Or D\mathcal{D} et D′\mathcal{D}^{\prime} contiennent les deux points distincts A2A_{2} et AnA_{n}, donc D=D′\mathcal{D}=\mathcal{D}^{\prime}.
Par suite A1,A2,…,An,An+1A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, A_{n+1} sont alignés sur la droite D=D′\mathcal{D}=\mathcal{D}^{\prime}.
Récurrence établie.
Où est l'erreur?
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Montrer que∀n∈N∗,1!3!…(2n+1)!<br/>≥((n+1)!)n+1\forall n \in \mathbb{N}^{*}, 1 ! 3 ! \ldots(2 n+1) ! <br/> \geq((n+1) !)^{n+1}
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Maths
Analyse
Difficulté 1
Soit E={a,b,c}E=\{a, b, c\} un ensemble. Peut-on écrire :
(a) a∈Ea \in E
(c) {a}⊂E\{a\} \subset E
(e) ∅⊂E\emptyset \subset E
(b) a⊂Ea \subset E
(d) ∅∈E\emptyset \in E
(f) {∅}⊂E\{\emptyset\} \subset E ?
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Montrer que
∀n∈N\{0,1},1+122+⋯+1n2>3n2n+1\forall n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}, 1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}>\frac{3 n}{2 n+1}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue.
On considère les assertions suivantes :
P∼≪∀x∈R,f(x)=0P \sim \ll \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=0 ,
Q∼≪∃x∈R,f(x)=0Q \sim \ll \exists x \in \mathbb{R}, f(x)=0
et
R∼≪(∀x∈R,f(x)>0) ou (∀x∈R,f(x)<0)R \sim \ll(\forall x \in \mathbb{R}, f(x)>0) \text { ou }(\forall x \in \mathbb{R}, f(x)<0)
Parmi les implications suivantes lesquelles sont exactes :
(a) P⟹QP \Longrightarrow Q
(b) Q⟹PQ \Longrightarrow P
(d) non⁡(R)⟹Q\operatorname{non}(R) \Longrightarrow Q
(c) Q⟹RQ \Longrightarrow R
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient II un intervalle de R\mathbb{R} non vide et f:I→Rf: I \rightarrow \mathbb{R} une fonction à valeurs réelles définie sur II.
Exprimer les négations des assertions suivantes :
(a) ∀x∈I,f(x)≠0\forall x \in I, f(x) \neq 0
(b) ∀y∈R,∃x∈I,f(x)=y\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in I, f(x)=y
(c) ∃M∈R,∀x∈I,∣f(x)∣≤M\exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in I,|f(x)| \leq M
(d) ∀x,y∈I,x≤y⟹f(x)≤f(y)\forall x, y \in I, x \leq y \Longrightarrow f(x) \leq f(y)
(e) ∀x,y∈I,f(x)=f(y)⟹x=y\forall x, y \in I, f(x)=f(y) \Longrightarrow x=y
(f) ∀x∈I,f(x)>0⟹x≤0\forall x \in I, f(x)>0 \Longrightarrow x \leq 0.
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Maths
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Difficulté 2
Soient II un intervalle de R\mathbb{R} et f:I→Rf: I \rightarrow \mathbb{R} une fonction définie sur II à valeurs réelles.
Exprimer à l'aide de quantificateurs les assertions suivantes:
(a) la fonction ff s'annule
(b) la fonction ff est la fonction nulle
(c) ff n'est pas une fonction constante
(d) ff ne prend jamais deux fois la même valeur
(e) la fonction ff présente un minimum
(f) ff prend des valeurs arbitrairement grandes
(g) ff ne peut s'annuler qu'une seule fois.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soient II un intervalle de R\mathbb{R} et f:I→Rf: I \rightarrow \mathbb{R} une fonction définie sur II à valeurs réelles.
Exprimer verbalement la signification des assertions suivantes :
(a) ∃C∈R,∀x∈I,f(x)=C\exists C \in \mathbb{R}, \forall x \in I, f(x)=C
(b) ∀x∈I,f(x)=0⟹x=0\forall x \in I, f(x)=0 \Longrightarrow x=0
(c) ∀y∈R,∃x∈I,f(x)=y\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in I, f(x)=y
(d) ∀x,y∈I,x≤y⟹f(x)≤f(y)\forall x, y \in I, x \leq y \Longrightarrow f(x) \leq f(y)
(e) ∀x,y∈I,f(x)=f(y)⟹x=y\forall x, y \in I, f(x)=f(y) \Longrightarrow x=y.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
On dispose de neuf billes visuellement identiques, elles ont toutes la même masse sauf une.
Comment, à l'aide d'une balance à deux plateaux, démasquer l'intrus en trois pesées?
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Maths
Analyse
Difficulté 1
On dispose de neuf billes visuellement identiques,
huit d'entre elles ont même masse mais la neuvième est plus lourde.
Comment, en deux pesées sur une balance à deux plateaux, peut-on démasquer l'intrus?
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Étant donné P,QP, Q et RR trois assertions, vérifier en dressant la table de vérité :
(a) PP ou (Q(Q et R)∼(PR) \sim(P ou Q)Q) et (P(P ou R)R)
(b) non⁡(P⟹Q)∼P\operatorname{non}(P \Longrightarrow Q) \sim P et non⁡(Q)\operatorname{non}(Q).
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Décrire les parties de R\mathbb{R} dans lesquelles évoluent xx pour que les assertions suivantes soient vraies:
(a) (x>0(x>0 et x<1)x<1) ou x=0x=0
(b) x>3x>3 et x<5x<5 et x≠4x \neq 4
(c) (x≤0(x \leq 0 et x>1x>1 ) ou x=4x=4
(d) x≥0⟹x≥2x \geq 0 \Longrightarrow x \geq 2.
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