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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soient E,F,GE, F, G trois ensembles, f:E→Ff: E \rightarrow F et g1,g2:F→Gg_{1}, g_{2}: F \rightarrow G.
On suppose ff surjective et g1∘f=g2∘fg_{1} \circ f=g_{2} \circ f.
Montrer que g1=g2g_{1}=g_{2}.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient E,F,GE, F, G trois ensembles, f1,f2:E→Ff_{1}, f_{2}: E \rightarrow F et g:F→Gg: F \rightarrow G.
On suppose g∘f1=g∘f2g \circ f_{1}=g \circ f_{2} et gg injective.
Montrer que f1=f2f_{1}=f_{2}.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soient f:E→Ff: E \rightarrow F et g:F→Eg: F \rightarrow E deux applications telles que f∘g∘ff \circ g \circ f soit bijective. Montrer que ff et gg sont bijectives.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient E,F,GE, F, G trois ensembles, f:E→F,g:F→Gf: E \rightarrow F, g: F \rightarrow G et h:G→Eh: G \rightarrow E.
Établir que si h∘g∘fh \circ g \circ f est injective et que g∘f∘hg \circ f \circ h et f∘h∘gf \circ h \circ g sont surjectives alors f,gf, g et hh sont bijectives.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soit f:N→Zf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} définie par f(n)={n/2 si n est pair −n+12 sinon. f(n)= \begin{cases}n / 2 & \text { si } n \text { est pair } \\ -\frac{n+1}{2} & \text { sinon. }\end{cases} Montrer que ff est bien définie et bijective.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soient f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} et g:N→Ng: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} les applications définies par :
∀k∈N,f(k)=2k\forall k \in \mathbb{N}, f(k)=2 k et
g(k)={k/2 si k est pair (k−1)/2 si k est impair. g(k)= \begin{cases}k / 2 & \text { si } k \text { est pair } \\ (k-1) / 2 & \text { si } k \text { est impair. }\end{cases}
(a) Étudier l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité de ff et de gg.
(b) Préciser les applications g∘fg \circ f et f∘gf \circ g.
Étudier leur injectivité, surjectivité et bijectivité.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soit AA une partie d'un ensemble EE. On appelle fonction caractéristique de la partie AA dans EE, l'application 1A:E→R1_{A}: E \rightarrow \mathbb{R} définie par 1A(x)={1 si x∈A0 sinon 1_{A}(x)= \begin{cases}1 & \text { si } x \in A \\ 0 & \text { sinon }\end{cases} De quels ensembles les fonctions suivantes sont-elles les fonctions caractéristiques?
(a) min⁡(1A,1B)\min \left(1_{A}, 1_{B}\right)
(c) 1A⋅1B1_{A} \cdot 1_{B}
(e) 1A+1B−1A⋅1B1_{A}+1_{B}-1_{A} \cdot 1_{B}
(b) max⁡(1A,1B)\max \left(1_{A}, 1_{B}\right)
(d) 1−1A1-1_{A}
(f) (1A−1B)2\left(1_{A}-1_{B}\right)^{2}
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soit AA une partie non vide et minorée de R\mathbb{R}. On pose

m=inf⁡A et B=A∩]−∞;m+1]m=\inf A \text { et } B=A \cap]-\infty ; m+1]

Déterminer la borne inférieure de BB.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Pour n∈Nn \in \mathbb{N}, on pose fn(x)=xn(1−x)f_{n}(x)=x^{n}(1-x).
Déterminer
lim⁡n→+∞sup⁡x∈[0;1]fn(x)\lim _{n \rightarrow+\infty} \sup _{x \in[0 ; 1]} f_{n}(x)
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient AA et BB deux parties de R\mathbb{R} non vides et majorées.
Montrer que sup⁡A,sup⁡B\sup A, \sup B et sup⁡(A∪B)\sup (A \cup B) existent et
sup⁡(A∪B)=max⁡(sup⁡A,sup⁡B)\sup (A \cup B)=\max (\sup A, \sup B)
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit
A={(−1)n+1n+1∣n∈N}A=\left\{(-1)^{n}+\frac{1}{n+1} \mid n \in \mathbb{N}\right\} Montrer que AA est bornée,
déterminer inf⁡A\inf A et sup⁡A\sup A.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Montrer qu'il n'existe pas de suite strictement décroissante d'entiers naturels.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit EE l'ensemble des couples (I,f)(I, f) formé d'un intervalle II et d'une fonction réelle définie sur II.
On définit une relation ≼sur⁡E\preccurlyeq \operatorname{sur} E par: (I,f)≼(J,g)⟺I⊂J(I, f) \preccurlyeq(J, g) \Longleftrightarrow I \subset J et g∣I=f\left.g\right|_{I}=f.
Montrer que ≼\preccurlyeq est une relation d'ordre sur EE.
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Difficulté 2
Soit AA une partie non vide et minorée de R\mathbb{R}. On pose m=inf⁡A et B=A∩]−∞;m+1]m=\inf A \text { et } B=A \cap]-\infty ; m+1] Déterminer la borne inférieure de BB.
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Analyse
Difficulté 2
Pour n∈Nn \in \mathbb{N}, on pose fn(x)=xn(1−x)f_{n}(x)=x^{n}(1-x). Déterminerlim⁡n→+∞sup⁡x∈[0;1]fn(x)\lim _{n \rightarrow+\infty} \sup _{x \in[0 ; 1]} f_{n}(x)
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Maths
Analyse
Difficulté 3
On définit une relation binaire ≼\preccurlyeq sur⁡{z∈C∣Im⁡(z)≥0}\operatorname{sur}\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im}(z) \geq 0\} par :z≼z′⟺∣z∣<∣z′∣ ou (∣z∣=∣z′∣ et Re⁡(z)≤Re⁡(z′)). z \preccurlyeq z^{\prime} \Longleftrightarrow|z|<\left|z^{\prime}\right| \text { ou }\left(|z|=\left|z^{\prime}\right| \text { et } \operatorname{Re}(z) \leq \operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right)\right) \text {. }
Montrer qu'il s'agit d'une relation d'ordre total.
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Difficulté 3
Soient AA et BB deux parties de R\mathbb{R} non vides et majorées.
Montrer que sup⁡A,sup⁡B\sup A, \sup B et sup⁡(A∪B)\sup (A \cup B) existent et
sup⁡(A∪B)=max⁡(sup⁡A,sup⁡B)\sup (A \cup B)=\max (\sup A, \sup B)
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Difficulté 3
SoitA={(−1)n+1n+1∣n∈N}A=\left\{(-1)^{n}+\frac{1}{n+1} \mid n \in \mathbb{N}\right\} Montrer que AA est bornée,
déterminer inf⁡A\inf A
et sup⁡A\sup A.
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Difficulté 2
Soit ≼\preccurlyeq la relation définie sur E={(x,y)∈R2∣x≤y}E=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \leq y\right\} par
(x,y)≼(x′,y′)⟺(x,y)=(x′,y′) ou y≤x′(x, y) \preccurlyeq\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \Longleftrightarrow(x, y)=\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \text { ou } y \leq x^{\prime}.
Montrer que ≼\preccurlyeq est une relation d'ordre sur EE.
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Difficulté 4
Montrer qu'il n'existe pas de suite strictement décroissante d'entiers naturels.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
On définit une relation binaire ≼\preccurlyeq sur R+∗\mathbb{R}_{+}^{*} par :x≼y⟺∃n∈N,y=xn.x \preccurlyeq y \Longleftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}, y=x^{n} .
Montrer que ≼\preccurlyeq est une relation d'ordre.
Cet ordre est-il total ?
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soit AA la somme des chiffres de 44444444,4444^{4444},
BB celle de AA
et enfin CC celle de BB.
Que vaut CC ?
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Maths
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Difficulté 3
Soit EE l'ensemble des couples (I,f)(I, f) formé d'un intervalle II et d'une fonction réelle définie sur II.
On définit une relation ≼sur⁡E\preccurlyeq \operatorname{sur} E par: (I,f)≼(J,g)⟺I⊂J(I, f) \preccurlyeq(J, g) \Longleftrightarrow I \subset J et g∣I=f\left.g\right|_{I}=f.
Montrer que ≼\preccurlyeq est une relation d'ordre sur EE.
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Analyse
Difficulté 2
Soient λ,a,b∈Z\lambda, a, b \in \mathbb{Z} et m∈N∗m \in \mathbb{N}^{*}.
On suppose λ\lambda et mm premiers entre eux.
Montrer
a≡b[m]⟺λa≡λb[m]a \equiv b[m] \Longleftrightarrow \lambda a \equiv \lambda b[m]
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Montrer que si nn est entier impair alors
n2≡1[8]n^{2} \equiv 1[8]
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Trouver les entiers n∈Zn \in \mathbb{Z} tel que 10∣n2+(n+1)2+(n+3)210 \mid n^{2}+(n+1)^{2}+(n+3)^{2}.
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Difficulté 3
On définit une relation binaire ≼sur⁡{z∈C∣Im⁡(z)≥0}\preccurlyeq \operatorname{sur}\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im}(z) \geq 0\} par : z≼z′⟺∣z∣<∣z′∣ ou (∣z∣=∣z′∣ et Re⁡(z)≤Re⁡(z′)). z \preccurlyeq z^{\prime} \Longleftrightarrow|z|<\left|z^{\prime}\right| \text { ou }\left(|z|=\left|z^{\prime}\right| \text { et } \operatorname{Re}(z) \leq \operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right)\right) \text {. }
Montrer qu'il s'agit d'une relation d'ordre total.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Montrer que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} :
(a) 6∣5n3+n6 \mid 5 n^{3}+n
(c) 5∣22n+1+32n+15 \mid 2^{2 n+1}+3^{2 n+1}
(b) 7∣32n+1+2n+27 \mid 3^{2 n+1}+2^{n+2}
(d) 11∣11 \mid
(e) 9∣4n−1−3n9 \mid 4^{n}-1-3 n
(f) 152∣16n−1−15n15^{2} \mid 16^{n}-1-15 n
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Difficulté 2
Soit ≼\preccurlyeq la relation définie sur E={(x,y)∈R2∣x≤y}E=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \leq y\right\} par (x,y)≼(x′,y′)⟺(x,y)=(x′,y′) ou y≤x′(x, y) \preccurlyeq\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \Longleftrightarrow(x, y)=\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \text { ou } y \leq x^{\prime} Montrer que ≼\preccurlyeq est une relation d'ordre sur EE.
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Analyse
Difficulté 2
Quel est le reste de la division euclidienne de 12344321+432112341234^{4321}+4321^{1234}
par 7 ?
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Montrer que
11∣2123+312111 \mid 2^{123}+3^{121}.
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Analyse
Difficulté 3
On définit une relation binaire ≼\preccurlyeq sur R+∗\mathbb{R}_{+}^{*} par: x≼y⟺∃n∈N,y=xn.x \preccurlyeq y \Longleftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}, y=x^{n} .
Montrer que ≼\preccurlyeq est une relation d'ordre.
Cet ordre est-il total ?
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Difficulté 2
Soit AA la somme des chiffres de 44444444,4444^{4444},
BB celle de AA
et enfin CC celle de BB.
Que vaut CC ?
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Difficulté 3
Soit EE un ensemble de cardinal n,n,
R\mathcal{R} une relation d'équivalence sur EE ayant kk classes d'équivalence et
G={(x,y)∈E2∣xRy}G=\left\{(x, y) \in E^{2} \mid x \mathcal{R} y\right\} le graphe de R\mathcal{R} supposé de cardinal p.p.
Prouver qu'on a n2≤kpn^{2} \leq k p.
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Difficulté 2
Soient λ,a,b∈Z\lambda, a, b \in \mathbb{Z} et m∈N∗m \in \mathbb{N}^{*}.
On suppose λ\lambda et mm premiers entre eux.
Montrer
a≡b[m]⟺λa≡λb[m]a \equiv b[m] \Longleftrightarrow \lambda a \equiv \lambda b[m]
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Difficulté 3
Soit GG un groupe multiplicatif de cardinal pαp^{\alpha} avec pp premier et α∈N∗\alpha \in \mathbb{N}^{*}.
Montrer que
Z(G)≠{1}Z(G) \neq\{1\}
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Difficulté 2
Montrer que si nn est entier impair alors
n2≡1[8]n^{2} \equiv 1[8]
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Analyse
Difficulté 2
Trouver les entiers n∈Zn \in \mathbb{Z}
tel que 10∣n2+(n+1)2+(n+3)210 \mid n^{2}+(n+1)^{2}+(n+3)^{2}.
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Difficulté 4
Soit (G,×)(G, \times) un groupe et HH un sous groupe de (G,×)(G, \times).
On définit une relation binaire R\mathcal{R} sur GG par :
xRy⟺xy−1∈Hx \mathcal{R} y \Longleftrightarrow x y^{-1} \in H
Montrer que R\mathcal{R} est une relation d'équivalence et en décrire les classes d'équivalence.
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Difficulté 3
Montrer que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} :
(a) 6∣5n3+n6 \mid 5 n^{3}+n
(b) 5∣22n+1+32n+15 \mid 2^{2 n+1}+3^{2 n+1}
(c) 7∣32n+1+2n+27 \mid 3^{2 n+1}+2^{n+2}
(d) 11∣11 \mid
(e) 9∣4n−1−3n9 \mid 4^{n}-1-3 n
(f) 152∣16n−1−15n15^{2} \mid 16^{n}-1-15 n
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Difficulté 2
Quel est le reste de la division euclidienne de 12344321+432112341234^{4321}+4321^{1234} par 7 ?
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Difficulté 3
Montrer que
11∣2123+312111 \mid 2^{123}+3^{121}.
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Difficulté 2
On considère sur F(E,E)\mathcal{F}(E, E) la relation binaire R\mathcal{R} définie par :fRg⟺∃φ∈S(E) telle que f∘φ=φ∘gf \mathcal{R} g \Longleftrightarrow \exists \varphi \in \mathcal{S}(E) \text { telle que } f \circ \varphi=\varphi \circ g (a)(a) Montrer que R\mathcal{R} est une relation d'équivalence.
(b)(b) Décrire la classe d'équivalence d'une fonction donnée f∈F(E,E)f \in \mathcal{F}(E, E).
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Difficulté 3
Soit EE un ensemble de cardinal n,n, \\ R\mathcal{R} une relation d'équivalence sur EE ayant kk classes d'équivalence et
G={(x,y)∈E2∣xRy}G=\left\{(x, y) \in E^{2} \mid x \mathcal{R} y\right\} le graphe de R\mathcal{R} supposé de cardinal pp. Prouver qu'on a n2≤kpn^{2} \leq k p.
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Difficulté 3
Soit EE un ensemble et AA une partie de EE.
On définit une relation R\mathcal{R} sur ℘(E)\wp(E) par :
XRY⟺X∪A=Y∪AX \mathcal{R} Y \Longleftrightarrow X \cup A=Y \cup A
(a) Montrer que R\mathcal{R} est une relation d'équivalence
(b) Décrire la classe d'équivalence de X∈℘(E)X \in \wp(E)
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Difficulté 3
Soit GG un groupe multiplicatif de cardinal pαp^{\alpha} avec pp premier et α∈N∗\alpha \in \mathbb{N}^{*}.
Montrer que
Z(G)≠{1}Z(G) \neq\{1\}
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Difficulté 4
Soit (G,×)(G, \times) un groupe et HH un sous groupe de (G,×)(G, \times).
On définit une relation binaire R\mathcal{R} sur GG par :
xRy⟺xy−1∈Hx \mathcal{R} y \Longleftrightarrow x y^{-1} \in H
Montrer que R\mathcal{R} est une relation d'équivalence et en décrire les classes d'équivalence.
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Difficulté 3
Soit R\mathcal{R} une relation binaire sur un ensemble EE à la fois réflexive et transitive.
On définit les nouvelles relations S\mathcal{S} et T\mathcal{T} par :xSy⟺(xRy et yRx) et xTy⟺(xRy ou yRx). x \mathcal{S} y \Longleftrightarrow(x \mathcal{R} y \text { et } y \mathcal{R} x) \text { et } x \mathcal{T} y \Longleftrightarrow(x \mathcal{R} y \text { ou } y \mathcal{R} x) \text {. }
Les relations S\mathcal{S} et T\mathcal{T} sont-elles des relations d'équivalences?
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Difficulté 2
On considère sur F(E,E)\mathcal{F}(E, E) la relation binaire R\mathcal{R} définie par :fRg⟺∃φ∈S(E) telle que f∘φ=φ∘gf \mathcal{R} g \Longleftrightarrow \exists \varphi \in \mathcal{S}(E) \text { telle que } f \circ \varphi=\varphi \circ g (a) Montrer que R\mathcal{R} est une relation d'équivalence.
(b) Décrire la classe d'équivalence d'une fonction donnée f∈F(E,E)f \in \mathcal{F}(E, E).
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Difficulté 3
Soit EE un ensemble et AA une partie de EE.
On définit une relation R\mathcal{R} sur ℘(E)\wp(E) par :
XRY⟺X∪A=Y∪AX \mathcal{R} Y \Longleftrightarrow X \cup A=Y \cup A
(a) Montrer que R\mathcal{R} est une relation d'équivalence
(b) Décrire la classe d'équivalence de X∈℘(E)X \in \wp(E)
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Difficulté 3
Soit R\mathcal{R} une relation binaire sur un ensemble EE à la fois réflexive et transitive.
On définit les nouvelles relations S\mathcal{S} et T\mathcal{T} par :
xSy⟺(xRy et yRx) et xTy⟺(xRy ou yRx). x \mathcal{S} y \Longleftrightarrow(x \mathcal{R} y \text { et } y \mathcal{R} x) \text { et } x \mathcal{T} y \Longleftrightarrow(x \mathcal{R} y \text { ou } y \mathcal{R} x) \text {. }
Les relations S\mathcal{S} et T\mathcal{T} sont-elles des relations d'équivalences?
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