logo
  • Filtre for math subject Tous les sujets
  • Filtre for math subjectMaths
  • Filtre for math subjectPhysique-Chimie
  • Filtre for math subjectCorrigés de BAC
  • Filtre for math subjectPrépa Examens
  • Filtre for math subjectRévisions Maths lycée
Montrer
nN,(2nn)22n2n+1\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \left(\begin{array}{c}2 n \\\\n\end{array}\right) \geq \frac{2^{2 n}}{2 n+1}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Soient nNn \in \mathbb{N}^{*}
(a) Justifier 1kn,(nk)=nk+1k(nk1)\forall 1 \leq k \leq n,\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)=\frac{n-k+1}{k}\left(\begin{array}{c}n \\k-1\end{array}\right)
(b) En déduire que pour tout entier kk vérifiant 1kn/21 \leq k \leq n / 2 (nk1)<(nk)\left(\begin{array}{c}n \\k-1\end{array}\right)<\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right) et pour tout entier kk vérifiant n/2kn1n / 2 \leq k \leq n-1 (nk+1)<(nk)\left(\begin{array}{c}n \\k+1\end{array}\right)<\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)
(c) Comment interpréter simplement les inégalités qui viennent d'être obtenues?
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Soit nNn \in \mathbb{N} avec n2n \geq 2.
(a) On suppose que nn est premier. Montrer k{2,,n1},n divise (nk) \forall k \in\{2, \ldots, n-1\}, n \text { divise } \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)
(b) Inversement, on suppose que nn est composé. Montrer
k{2,,n1},n ne divise pas (nk) \exists k \in\{2, \ldots, n-1\}, n \text { ne divise pas }\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Montrer que pour tout nNn \in \mathbb{N}^{*} k=1n(1)k+1k(nk)\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right) =k=1n1k=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Calculer pour n,pNn, p \in \mathbb{N}^{*}, la somme
i=0n(j=1p(i+j))\sum_{i=0}^{n}\left(\prod_{j=1}^{p}(i+j)\right)
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
(a) Soit nNn \in \mathbb{N}. Calculer k=0n(1)k(nk)\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)
(b) Soient k,,nNk, \ell, n \in \mathbb{N} tels que kn\ell \leq k \leq n. Comparer (nk)(k) et (n)(nk)\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}k \\\ell\end{array}\right) \text { et }\left(\begin{array}{l}n \\\ell\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}n-\ell \\k-\ell\end{array}\right) \text {. }
(c) Soit (xn)\left(x_{n}\right) une suite de réels. On pose kN,yk==0k(k)x\forall k \in \mathbb{N}, y_{k}=\sum_{\ell=0}^{k}\left(\begin{array}{l}k \\\ell\end{array}\right) x_{\ell} Montrer que nN,xn=k=0n(1)nk(nk)yk\forall n \in \mathbb{N}, x_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right) y_{k}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Développer (a+b+c)n(a+b+c)^{n}.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Soit nNn \in \mathbb{N}. Calculerp=0n(np)jp\sum_{p=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\p\end{array}\right) j^{p}
En déduireA=k=0n/3(n3k),<br/>B=k=0(n1)/3(n3k+1) et <br/>C=k=0(n2)/3(n3k+2)A=\sum_{k=0}^{\lfloor n / 3\rfloor}\left(\begin{array}{c}n \\3 k\end{array}\right), <br/> B=\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1) / 3\rfloor}\left(\begin{array}{c}n \\3 k+1\end{array}\right) \text { et } <br/> C=\sum_{k=0}^{\lfloor(n-2) / 3\rfloor}\left(\begin{array}{c}n \\3 k+2\end{array}\right)
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Calculer pour tout nNn \in \mathbb{N}^{*} :
(a) S0=k=0n(nk)S_{0}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)
(b) S1=k=0nk(nk)S_{1}=\sum_{k=0}^{n} k\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)
(c) S2=k=0nk2(nk)S_{2}=\sum_{k=0}^{n} k^{2}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Exprimer
2×4××(2n)2 \times 4 \times \cdots \times(2 n)
puis
1×3××(2n+1)1 \times 3 \times \cdots \times(2 n+1)
à l'aide de factoriels
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Pour nNn \in \mathbb{N}^{*}, simplifier
k=1n2k+32k1\prod_{k=1}^{n} \frac{2 k+3}{2 k-1}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
On désire calculer le produit P(x)=0kncos(2kx)P(x)=\prod_{0 \leq k \leq n} \cos \left(2^{k} x\right) pour tout xRx \in \mathbb{R}.

(a) Commencer par traiter le cas x0[π]x \equiv 0[\pi].

(b) Pour x≢0[π]x \not \equiv 0[\pi], simplifier sin(x)P(x)\sin (x) P(x) et exprimer P(x)P(x).
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Calculer k=1n(1+1k)\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{k}\right)
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies :

 a) i=1nαai=αi=1nai \text { a) } \prod_{i=1}^{n} \alpha a_{i}=\alpha \prod_{i=1}^{n} a_{i}


 b) i=1naibi=i=1naii=1nbi \text { b) } \prod_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=\prod_{i=1}^{n} a_{i} \prod_{i=1}^{n} b_{i}
 c) i=1nai+bi=i=1nai+i=1nbi ?  \text { c) } \prod_{i=1}^{n} a_{i}+b_{i}=\prod_{i=1}^{n} a_{i}+\prod_{i=1}^{n} b_{i} \text { ? }
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Soit nNn \in \mathbb{N}^{*}.
Calculer Cn=1p<qn(p+q)C_{n}=\sum_{1 \leq p<q \leq n}(p+q)
en remarquant1p,qnp+q=2Cn+2p=1np\sum_{1 \leq p, q \leq n} p+q=2 C_{n}+2 \sum_{p=1}^{n} p
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
A partir des valeurs connues de k=1nk,k=1nk2\sum_{k=1}^{n} k, \sum_{k=1}^{n} k^{2} et k=1nk3\sum_{k=1}^{n} k^{3}, calculer :
(a) 1i,jn(i+j)2\sum_{1 \leq i, j \leq n}(i+j)^{2}
(c) 1i,jnmin(i,j)\sum_{1 \leq i, j \leq n} \min (i, j)
(b) 1i<jnij\sum_{1 \leq i<j \leq n} i j
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Soit nNn \in \mathbb{N}.
Résoudre, lorsqu'elle a un sens, l'équation :
k=0ncos(kx)coskx=0\sum_{k=0}^{n} \frac{\cos (k x)}{\cos ^{k} x}=0
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Calculer, pour tout qCq \in \mathbb{C}, la somme k=0nq2k\sum_{k=0}^{n} q^{2 k}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Calculer, pour tout qCq \in \mathbb{C}, la somme k=0nq2k\sum_{k=0}^{n} q^{2 k}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Calculer, pour tout θR\theta \in \mathbb{R}, la somme k=0neikθ\sum_{k=0}^{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k \theta}.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Soient nNn \in \mathbb{N}^{*} et xRx \in \mathbb{R}. \\ Montrer \\ k=0ncos(kx)2n+58\sum_{k=0}^{n}|\cos (k x)| \geq \frac{2 n+5}{8}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Calculer, pour tout θR\theta \in \mathbb{R}, la somme k=0neikθ\sum_{k=0}^{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k \theta}.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Soient nNn \in \mathbb{N}^{*} et xRx \in \mathbb{R}.
Montrer
k=0ncos(kx)2n+58\sum_{k=0}^{n}|\cos (k x)| \geq \frac{2 n+5}{8}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
(a) Calculerk=1pkk!\sum_{k=1}^{p} k k ! (b) Soit pNp \in \mathbb{N}. Montrer que pour tout n0,(p+1)n \in \llbracket 0,(p+1) ! 1-1 \rrbracket, il existe un uplet (n0,n1,,np)Np+1\left(n_{0}, n_{1}, \ldots, n_{p}\right) \in \mathbb{N}^{p+1} tel quek0;p,0nkk et n=k=0pnkk!\forall k \in \llbracket 0 ; p \rrbracket, 0 \leq n_{k} \leq k \text { et } n=\sum_{k=0}^{p} n_{k} k ! (c) Justifier l'unicité d'une telle suite.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Montrer
nN,k=0nk!(n+1)!\forall n \in \mathbb{N}, \sum_{k=0}^{n} k ! \leq(n+1) !
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO

(a) Calculerk=1pkk!\sum_{k=1}^{p} k k !
(b) Soit pNp \in \mathbb{N}. Montrer que pour tout n0,(p+1)n \in \llbracket 0,(p+1) ! 1-1 \rrbracket, il existe un uplet (n0,n1,,np)Np+1\left(n_{0}, n_{1}, \ldots, n_{p}\right) \in \mathbb{N}^{p+1} tel quek0;p,0nkk et n=k=0pnkk!\forall k \in \llbracket 0 ; p \rrbracket, 0 \leq n_{k} \leq k \text { et } n=\sum_{k=0}^{p} n_{k} k !
(c) Justifier l'unicité d'une telle suite.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Montrer que la suite de terme général un=k=1n1n+ku_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}
est strictement croissante.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Calculer k=1n(1)kk\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k} k
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO

Calculerk=1nk(k+1)!\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1) !}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
A partir des valeurs connues de k=1nk\sum_{k=1}^{n} k et k=1nk2\sum_{k=1}^{n} k^{2}, calculer :
(a) k=1nk(k+1)\sum_{k=1}^{n} k(k+1)
(b) 1n+2(n1)++(n1)2+n11 \cdot n+2 \cdot(n-1)+\cdots+(n-1) \cdot 2+n \cdot 1.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Montrer
nN,k=0nk!(n+1)!\forall n \in \mathbb{N}, \sum_{k=0}^{n} k ! \leq(n+1) !
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Montrer que la suite de terme général un=k=1n1n+ku_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}
est strictement croissante.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Établir l'une des trois formules suivantes:
(a) k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}
(b) k=1nk2=\sum_{k=1}^{n} k^{2}=n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
(c) k=1nk3=\sum_{k=1}^{n} k^{3}=n2(n+1)24\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
a) x22x+1=0x^2 - 2x +1 = 0
b) 3x4=5x123x - 4 = 5x -12
c) 6x2+9=276x^2 + 9 = 27.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Calculer

k=1n(1)kk\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k} k
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Résoudre le système{xay+z=2x+(a+1)z=3x+ay+3z=4\left\{\begin{array}{r}x-a y+z=2 \\x+(a+1) z=3 \\x+a y+3 z=4\end{array}\right.
d'inconnue (x,y,z)R3,(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3},
aa désignant un paramètre réel.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
A partir des valeurs connues de k=1nk\sum_{k=1}^{n} k et k=1nk2\sum_{k=1}^{n} k^{2}, calculer :
(a) k=1nk(k+1)\sum_{k=1}^{n} k(k+1)
(b) 1n+2(n1)++(n1)2+n11 \cdot n+2 \cdot(n-1)+\cdots+(n-1) \cdot 2+n \cdot 1.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Établir l'une des trois formules suivantes:
(a) k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}
(b) k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
(c) k=1nk3=n2(n+1)24\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Résoudre le système {xay+z=2x+(a+1)z=3x+ay+3z=4\left\{\begin{array}{r}x-a y+z=2 \\x+(a+1) z=3 \\x+a y+3 z=4\end{array}\right. d'inconnue (x,y,z)R3,a(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, a désignant un paramètre réel.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies :
a) i=1nα+ai=α+i=1nai\sum_{i=1}^{n} \alpha+a_{i}=\alpha+\sum_{i=1}^{n} a_{i}

b) i=1nai+bi=i=1nai+i=1nbi\sum_{i=1}^{n} a_{i}+b_{i}=\sum_{i=1}^{n} a_{i}+\sum_{i=1}^{n} b_{i}
c) i=1nαai=αi=1nai\sum_{i=1}^{n} \alpha a_{i}=\alpha \sum_{i=1}^{n} a_{i}
d) i=1naibi=i=1naii=1nbi\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} \sum_{i=1}^{n} b_{i}
e) i=1naiα=(i=1nai)α\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{\alpha}=\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)^{\alpha}
f) j=1ni=1nai,j=i=1nj=1nai,j\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i, j}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i, j} ?
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Résoudre les systèmes d'inconnues (x,y)R2(x, y) \in \mathbb{R}^{2} :
(a) {x2+2y2=1x2+xy=0\left\{\begin{aligned} x^{2}+2 y^{2} & =1 \\ x^{2}+x y & =0\end{aligned}\right.
(b) {x2+y2=12xy=1\left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} & =1 \\ 2 x y & =1\end{aligned}\right.
(c) {x2=yy2=x\left\{\begin{array}{l}x^{2}=y \\ y^{2}=x\end{array}\right.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Soient aa un réel non nul.
Déterminer les triplets (x,y,z)(x, y, z) de réels non nuls vérifiant :
{x+y+z=a1x+1y+1z=1a\left\{\begin{array}{l}x+y+z=a \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}\end{array}\right.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Observer que x=20+1423+201423x=\sqrt[3]{20+14 \sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14 \sqrt{2}} est solution d'une équation de la forme x3=αx+βx^{3}=\alpha x+\beta avec α,βR\alpha, \beta \in \mathbb{R}.
Résoudre cette dernière et déterminer xx.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Résoudre les systèmes d'inconnue (x,y)R2(x, y) \in \mathbb{R}^{2} :
(a) {x2+2y2=1x2+xy=0\left\{\begin{aligned} x^{2}+2 y^{2} & =1 \\ x^{2}+x y & =0\end{aligned}\right.
(b) {x2+y2=12xy=1\left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} & =1 \\ 2 x y & =1\end{aligned}\right.
(c) {x2=yy2=x\left\{\begin{array}{l}x^{2}=y \\ y^{2}=x\end{array}\right.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Soient aa un réel non nul.
Déterminer les triplets (x,y,z)(x, y, z) de réels non nuls vérifiant :
{x+y+z=a1x+1y+1z=1a\left\{\begin{array}{l}x+y+z=a \\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}\end{array}\right.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Observer quex=20+1423+201423x=\sqrt[3]{20+14 \sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14 \sqrt{2}}est solution d'une équation de la forme x3=αx+βx^{3}=\alpha x+\beta avec α,βR\alpha, \beta \in \mathbb{R}.
Résoudre cette dernière et déterminer xx.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO