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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit p∈Np \in \mathbb{N}. Calculer
arctan⁡(p+1)−arctan⁡(p)\arctan (p+1)-\arctan (p)
Étudier la limite de la suite (Sn)\left(S_{n}\right) de terme général
Sn=∑p=0narctan⁡1p2+p+1S_{n}=\sum_{p=0}^{n} \arctan \frac{1}{p^{2}+p+1}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Simplifier arctan⁡a+arctan⁡b\arctan a+\arctan b pour a,b≥0a, b \geq 0.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Simplifier :
(a) arctan⁡12+arctan⁡15+arctan⁡18\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{5}+\arctan \frac{1}{8}.
(b) arctan⁡2+arctan⁡3+arctan⁡(2+3).\arctan 2+\arctan 3+\arctan (2+\sqrt{3}).
(c) arcsin⁡45+arcsin⁡513+arcsin⁡1665\arcsin \frac{4}{5}+\arcsin \frac{5}{13}+\arcsin \frac{16}{65}.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Étudier les fonctions suivantes afin de les représenter :
(a) f:x↦arcsin⁡(sin⁡x)+arccos⁡(cos⁡x)f: x \mapsto \arcsin (\sin x)+\arccos (\cos x)
(c) f:x↦arccos⁡1+cos⁡x2f: x \mapsto \arccos \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}
(b) f:x↦arcsin⁡(sin⁡x)+12arccos⁡(cos⁡2x)f: x \mapsto \arcsin (\sin x)+\frac{1}{2} \arccos (\cos 2 x)
(d) f:x↦arctan⁡1−cos⁡x1+cos⁡xf: x \mapsto \arctan \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Déterminer lim⁡x→0+arccos⁡(1−x)x\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{\arccos (1-x)}{\sqrt{x}} \\ à l'aide d'un changement de variable judicieux.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Simplifier
arcsin⁡x1+x2\arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Simplifier la fonction
x↦arccos⁡(4x3−3x)x \mapsto \arccos \left(4 x^{3}-3 x\right)
sur son intervalle de définition.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Simplifier les expressions suivantes :
(a) cos⁡(2arccos⁡x)\cos (2 \arccos x)
(c) sin⁡(2arccos⁡x)\sin (2 \arccos x)
(b) cos⁡(2arcsin⁡x)\cos (2 \arcsin x)
(d) cos⁡(2arctan⁡x)\cos (2 \arctan x)
(e) sin⁡(2arctan⁡x)\sin (2 \arctan x)
(f) tan⁡(2arcsin⁡x)\tan (2 \arcsin x)
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Calculer cos⁡π8\cos \frac{\pi}{8} en observant 2×π8=π42 \times \frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{4}
∑k=14cos⁡2kπ9\sum_{k=1}^{4} \cos ^{2} \frac{k \pi}{9}
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Calculer ∑k=14cos⁡2kπ9\sum_{k=1}^{4} \cos ^{2} \frac{k \pi}{9}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Résoudre l'équationtan⁡xtan⁡2x=1\tan x \tan 2 x=1
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Maths
Analyse
Difficulté 5
Soit x≠0[2π]x \neq 0[2 \pi]. (a) Montrer sin⁡(x)+sin⁡(2x)+⋯+sin⁡(nx)=sin⁡(n+1)x2sin⁡nx2sin⁡x2\sin (x)+\sin (2 x)+\cdots+\sin (n x)=\frac{\sin \frac{(n+1) x}{2} \sin \frac{n x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} en procédant par récurrence sur n∈Nn \in \mathbb{N}. (b) En exploitant les nombres complexes.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Pour a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} tels que b≠0[2π]b \neq 0[2 \pi], calculer simultanément
∑k=0ncos⁡(a+kb) et ∑k=0nsin⁡(a+kb)\sum_{k=0}^{n} \cos (a+k b) \text { et } \sum_{k=0}^{n} \sin (a+k b)
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Simplifiercos⁡p−cos⁡qsin⁡p+sin⁡q\frac{\cos p-\cos q}{\sin p+\sin q}
En déduire la valeur detan⁡π24\tan \frac{\pi}{24}
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Développer :
(a) cos⁡(3a)\cos (3 a)
(b) tan⁡(a+b+c)\tan (a+b+c)
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Établir que pour tout x∈R+x \in \mathbb{R}_{+}, on a sin⁡x≤x\sin x \leq x
et pour tout x∈R,cos⁡x≥1−x22x \in \mathbb{R}, \cos x \geq 1-\frac{x^{2}}{2}.
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